（A ） F ( x ) = ⎨ ；（B ） F ( x ) = ⎨ ⎩ -e - x + c , x < 0 ⎩ -e - x + c + 2, x < 03、设 f ( x ) = ⎨0, x = 0 , F ( x ) = ⎰ f (t )dt ，则（）⎪ -1, x < 0 ⎰ t sin tdt⎰ t2dt2上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格 3 分，共 30 分）1、设 sin x f (ax ) 为 f ( x ) 的一个原函数，且 a ≠ 0 ，则 ⎰x adx 应等于（ ）（A ） sin ax sin ax sin ax sin ax+ C ； （B ） + C ； （C ） + C ； （D ） + Ca 3 x a 2 x ax x2、若 e x 在 (-∞, +∞) 上不定积分是 F ( x ) + C ，则 F ( x ) = （）⎧e x + c , x ≥ 0 ⎧e x + c , x ≥ 01 2⎧e x , x ≥ 0 ⎧e x , x ≥ 0（C ） F ( x ) = ⎨ ；（D ） F ( x ) = ⎨⎩ -e - x + 2, x < 0 ⎩ -e - x , x < 0⎧1, x > 0 ⎪ x；⎩（A ） F ( x ) 在 x = 0 点不连续；（B ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，在 x = 0 点不可导；（C ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，且满足 F '( x ) = f ( x ) ；（D ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，但不一定满足 F '( x ) = f ( x ) 。

4、极限 lim x →0x 0x＝（ ）（A ）－1；（B ）0； （C ）1；（D ）25、设在区间[a , b ] 上 f ( x ) > 0, f '( x ) < 0, f ''( x ) > 0 。

令 s = ⎰ 1baf ( x )dx ， s = f (b )(b - a )21s = [ f (a ) + f (b )](b - a ) ，则（ ）3（A ） s < s < s ； （B ） s < s < s ； （C ） s < s < s ； （D ） s < s < s1 23213312231二、填空题：（每小格 3 分，共 30 分）4、函数F(x)=⎰3、设x≥1，求⎰(1-t)dt，求⎰f(x-2)dx,0⎰6、计算⎰ϕ（（设f(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明：不等式⎰2⎰f(x)dx。

1、设f(x)的一个原函数是e-2x，则它的一个导函数是___________。

2、设⎰2f(x)dx=1,f(2)=2，则⎰1xf'(2x)dx=_____________。

003、已知f'(e x)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=_________________。

x 1(2-1)dt(x>0)的单调减少区间为________________。

t5、由曲线y=x2与y=x所围平面图形的面积为___________。

三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）(1+x)21、计算⎰dxx(1+x2)x-12、计算⎰x tan2xdx⎧1+x2x≤4、设f(x)=⎨⎩e-x,x>0315、10ln(1+x)(2-x)2dx+∞11x x-1dx7、已知曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l,l分别是曲线C在点12(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。

设函数f(x)具有三队连续导数，计算定积分⎰3(x2+x)f'''(x)dx。

四、解答题（本题10分）设f(x)连续，(x)=⎰10f(x t)dt，且limx→0f(x)x=A（A为常数），求ϕ'(x)，并讨论ϕ'(x)在x=0处的连续性。

五、应用题（本题6分）设曲线方程为y=e-x(x≥0)，把曲线y=e-x,x轴、y轴和直线x=ξ(ξ>0)所围平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体。

1）旋转体体积V(ξ)；2）求满足V(a)=的a值。

六、证明题（6分）1lim V(ξ) 2ξ→+∞b a xf(x)dx≥a+b ba1、一个导函数是f'(x)=4e-2x。

2、⎰3、f(x)=1(ln x)2。

1、解：⎰dx=⎰(+当-1≤x<0时，原式=⎰(1+t)dt=当x≥0时，原式=⎰(1+t)dt+⎰(1-t)dt=1-(1-x)2。

4、解：⎰f(x-2)dx===⎰1f(t)dt=⎰0(1+t2)dt+⎰1e-t d t=5、解：⎰dx=⎰1l n(1+x)d()=ln(1+x)0(2-x)2-x2-x01-⎰0(1+x)(2-x)=ln2-⎰(1+1)dx=1ln2。

不定积分、定积分测验卷答案一．选择题：（每小格3分，共30分）1、（A）sin axa3x+C；⎧e x,x≥02、（C）F(x)=⎨⎩-e-x+2,x<0；3、（B）F(x)在(-∞,+∞)内连续，在x=0点不可导；4、（C）1；5、（B）s<s<s。

213二、填空题：（每小格3分，共30分）1 0xf'(2x)dx=34。

124、单调减少区间为(0,4)。

5、13。

三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）(1+x)212x(1+x2)x1+x2)dx=ln x+2arctan x+c2、解：⎰x tan2xdx=⎰x(sec2x-1)dx=⎰xd tan x-⎰xdx=x tan x-⎰tan xdx-x2=x tan x+ln cos x-+c2x2 2⎧1+t,-1≤t<0 3、解：被积函数f(t)=⎨⎩1-t,0≤t<+∞，x -112(1+x)2；0x1 -1023 1x-2=t-1-1071-。

3e1ln(1+x)11211302-x1+x3011dx⎰dx = ⎰ 2 dx + ⎰ +∞1dx ==== ⎰ 2 x x - 1 (t 2 + 1)t 2 1 x -1=t 2 2dx = ⎰ +∞= 2( - ) ；⎰⎰f ( x t )dt =⎰1f (u )所以 ϕ ( x ) = ⎨6、解：因为 lim f ( x ) = ∞ ，所以 x = 1 为瑕点，因此该广义积分为混合型的。

x →1++∞ 11 1 1 x x - 1 1 x x - 12 x x - 1dx = I + I12I = ⎰211 2tdt π= 2arctan x 1 =I = ⎰+∞21 2tdt x x - 1 1 (1+ t2 )t== 2arctan x +∞ 1 π π 2 4所以 +∞1 1 x x - 1dx = I + I = π 。

1 27、解：按题意，直接可知f (0) = 0, f (3) = 0, f ''(3) = 0 （拐点的必要条件）。

从图中还可求出 y = f ( x ) 在点 (0,0) 与 (3,2) 处的切线分别为 y = 2 x , y = -2 x + 8 。

于是f '(0) = 2, f '(3) = -2 。

所以⎰3 0( x 2 + x ) f '''( x )dx = ⎰ 3( x 2 + x )df ''( x ) = ( x 2 + x ) f ''( x ) 3 - ⎰ 3f ''( x )(2 x + 1)dx= -⎰ 3(2 x + 1)df '( x ) = -(2 x + 1) f '( x ) 3 + 2⎰ 3f '( x )dx = -7 f '(3) + f '(0) + 2 f ( x )= -7 ⋅ (-2) + 2 + 2 ⋅ (2 - 0) = 20 。

四、解答题（本题 10 分）3 0解：因为 lim x →0f ( x ) x= A ，故 lim f ( x ) = 0 ，而已知 f ( x ) 连续， lim f ( x ) = f (0) = 0 ；x →0 x →0由于 ϕ ( x ) =⎰1 0f ( x t )dt ，令 u = xt ，当 t : 0 → 1 时，有 u : 0 → x ， du = xdt ；当 x ≠ 0 时，有 ϕ ( x ) =当 x = 0 时，有 ϕ (0) =⎰1x1⎧ ⎰ x f (u )du⎪ 0 x⎪⎩0,, x ≠ 0 。

x = 0x →0 x →0 , x ≠ 0 ⎪ ⎪所以 ϕ '( x ) = ⎨ 。

⎪⎩ 2 , 解：（1）V (ξ ) = ⎰π y 2dx = ⎰π (e - x )2 dx = 2 ⎰ f (t )dt即⎰⎰ f ( x )dx ≥ 0 ，所以有 ⎰bxf ( x )dx ≥a + b⎰ bf ( x )dx 。

a a当 x ≠ 0 时，有ϕ '( x ) = xf ( x ) - ⎰ 0x f(u )dux 2；当 x = 0 时， lim x →0 ϕ( x ) - ϕ(0)x - 0 = limϕ( x ) x= lim x →0⎰ x0 f (u )dux 2 = limf ( x ) A = ；2 x 2⎧ xf ( x ) - ⎰ x f (u )du0 x 2 ⎪ Ax = 0又因为 lim ϕ'( x ) = limx →0 x →0xf ( x ) - ⎰ x f (u )du0 x 2f ( x ) ⎰x f (u )du= lim( -x →0 x x 2A A) = A - = ，2 2所以 lim ϕ'( x ) = ϕ'(0) =x →0A 2，即 ϕ '( x ) 在 x = 0 处连续。

五、应用题（本题 6 分）ξ ξπ 2(1- e -2ξ ) ；（2）V (a ) = π 2 (1- e -2a ) ，于是V (a ) = 1 1 π πlim V (ξ ) = ⋅ lim (1- e -2ξ ) = ；2 ξ →+∞ 2 ξ →+∞ 2 4π 1 π 1故 (1- e -2a ) = lim V (ξ ) = ⇒ a = ln 2 。

2 2 ξ →+∞ 4 2六、证明题（6 分）证：设 F ( x ) = ⎰ x tf (t )dt - a a + x xax ∈[a , b ]因为 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，所以F '( x ) = xf ( x ) -1⎰xf (t )dt -a + xf ( x ) = x + a f ( x ) - 1 ⎰ xf (t )dt = 1⎰ x [ f ( x ) - f (t )]dt 2a2 2 2 a 2 a因为 f ( x ) 在 [a , b ] 单调增加， 0 ≤ t ≤ x , f (t ) ≤ f ( x ) ⇒ f ( x ) - f (t ) ≥ 0 ，所以 F '( x ) ≥ 0 ；所以 F ( x ) 在 [a , b ] 单调增加；又 F (a ) = 0, 所以 F (b ) ≥ F (a ) = 0 ，baxf ( x )dx -a +b b2 2 a。