uuur AB
3
(2,1) 2 (3, 2) 3
(0, 7) 3
练习1. 设向量a=(1,－3)，b =(－2,4)，c =(－1,
－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的
有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d
为
.
解： 4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0, 所以d=－6a－4b+4c=(－2, －6).
uuur OA
uuur OB
的方向和长度.
解：OuuCur
uuur OA
uuur OB
= (3,2)+(－2，4)
= (1,6).
uuur | OC | 1 36 37
tan 6 α=arctan 6
例5.已知□ABCD的三个顶点A(－2, 1)、B(－1,
3)、C(3, 4)，求顶点D的坐标。
2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量
r v
(4,
3)
,设起始P(－10,10),
则5秒钟后点P
的坐标为( ).
解：5秒种后，P点坐标为 (－10, 10)+5(4, －3)=(10, －5).
3.设uAuur(2, 3u)u，ur B(5u,u4ur)，C(7, 10) 满足
AP AB AC
解：
uuur AB
uuur OB
uuur OA
=(x2,y2)－(x1,y1) =(x2－x1，y2－y1)。
说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐 标减去始点的坐标。
例3.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段AB中点的坐标。
解：设M(x,y)是线段AB的中点，则
(a1, a2)就是向量a在基底{e1, e2}下的坐标，
即a=(a1, a2).
y B2
a
A2 A a1 e2 O e 1A1
B a2
x B1
0=(0, 0)，e1=(1, 0)，e2=(0, 1).
设向量a= (a1, a2)， a 的方向相对于x轴正 方向的转角为θ ，由三角函数定义知
a1=|a|cosθ , a2=|a|sinθ
(1) λ为何值时,点P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则
(2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7), 5λ+5<0,7λ+4<0 ,
所以x=5λ+5，y=7λ+4.
解得λ =
1 2
所以λ<－1.
例1. 在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方
向和长度如图,
r b
(
3
,
3
3)
r 22
c (2 3, 2)
2.向量的直角坐标运算
设a=(a1,a2), b=(b1,b2), 求a+b的值。 a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2，
uuuur OM
1
uuur (OA
uuur OB)
2
1
( x, y) 2 [( x1, y1) ( x2, y2 )]
例3得到的公式， 叫做线段中点的 坐标公式，简称
x x1 x2 , y y1 y2 中点公式。
2
2
例4.在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2),
B(－2，4)，求向量
即a+b=(a1+b1，a2+b2). 用同样的方法可以证明
a－b=(a1－b1，a2－b2),
λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2）
说明： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的
相应坐标的和与差； 数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应
坐标的积。
uuur 例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量 AB 的坐标.
2.2.2向量的正交分解与 向量的直角坐标运算
1.向量的直角坐标
1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两 个向量互相垂直 ;
2. 如果两个基向量e1、e2互相垂直，则称 {e1，e2} 为正交基底 3. 若向量e1、e2为单位正交基底,且a xe1 ye2 则称(x，y)为向量a的坐标.
在坐标平面xOy内，任做一向量a，由平面 向量基本定理可知，存在唯一有序实数对 (a1,a2)，使得a=a1e1+a2e2，
解：OuuDur
uuur OA
uuur AD
uuur OA
uuur BC
uuur uuur uuur
OA OC OB
=(－2,1)+(3,4) －(－1,3)
=(2, 2) 所以D点的坐标是(2, 2).
例6. 已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB中 点M和三等分点坐标P，Q的坐标 .
解：(1) 求中点M的坐标，利用例3得到的公
式可知M(－ 1 ，2)
2
(2) 因为
uuur uuur uuur AB OB OA
=(1，3)－(－2，1)
=(3，2)
uuur OP
uuur OA
1
uuur AB
3
(2,1) 1 (3, 2) 3
(1, 5)
3
uuur OQ
uuur OA
2