n 0,1,2,
H
n
2
n
nn
12
n2
nn
1n
2!
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3
2
n4
n
1 2
n!
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n 2
n 2
!
{ n
2
n/2
n 1/ 2
(n为偶数)
n为奇数
En
n
1 2
n 0,1,2,
En1 En
E0
1 2
1 2x2
n x Nne 2 Hn x
Nn
2020高中物理学 奥林匹克竞赛
量子力学 （基础版）
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 物理上: • 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 • 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 • 辐射场简谐波的叠加 • 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) • 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) • 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
1/
2 2n
n!
1/
2
§2.5 一维谐振子
厄米多项式的讨论 • 别名 • 母系(母函数) • 仇家(正交性)
§2.5 一维谐振子
厄米多项式的讨论 • 兄弟姊妹(递推关系) • 对称性 • 节点
§2.5 一维谐振子
最低阶的几个厄米多项式及谐振子波函数
§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 数学上: • 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 • 通过数学,看物理
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
➢ 求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator
无量纲化 • 优点 • 单位在物理学上并不重要,重要的是一些无量
纲数 • 可使方程的系数变得最简单
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
“抓两头,带中间” • 抓两头:看方程在两边边界上的渐进行为
(三维:0点与无穷远点,一维:正负无穷远点) • 带中间:使函数在两头有与渐近行为相同的形
式
§2.5 一维谐振子
使之变成关于H的方程式关系
• 看解在无穷远处的渐近行为,”斩断魔爪”,无 限求和截断为有限的多项式,从而得到能谱及 解
• 求出波函数=>归一化
H a a 1 2 2a 1a 0
a 2
2
1
1
2
a
a 2 2
av e 2 1 2 4 2
2! ! 1!
2 2
2n 1