zy yz 0
因此，平面应力问题只有三个应力分量，仅为x、y的函 数，与z无关，如下
x x ( x, y) ， y y ( x, y) ， xy yx xy ( x, y)
弹性力学基础 2.2.2平面应变问题
几何特征：一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和尺寸不变化，例如水坝，如图所 示。 受力特征：外力和约束平行于横截面作用，沿长度 z 方向 不变化。 应变特征：如图选取坐标系，以任一横截面为xy面，任一 纵线为z轴。则任一横截面均可视为对称面，有沿z方向的 z 位移
o
u
P
x
u
A
u dx x
v
v dy y
B
P


B A
v
v dx x
v
y y v u xy x y
图2.4 变形图
弹性力学基础 2.2.5 物理方程
平面问题的物理方程，描述了弹性体内任意一点的应变 分量与应力分量之间的关系。在完全弹性和各向同性的情况 下，物性方程即为材料力学中的广义虎克定律，如下
弹性力学基础 2.2.6边界条件及圣维南原理
圣维南原理：如果把物体的一小部分边界的面力，变换为分 布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩 也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远 处所受的影响可以不计。
弹性力学基础 2.2.7 平面问题的基本解法
综合起来，弹性力学平面问题的基本方程有 8 个： 2 个平 衡微分方程、 3 个几何方程、 3个物理方程。这 8 个基本方程 中包含 8 个未知函数（坐标的未知函数）： 3 个应力分量； 3 个形变分量； 2 个位移分量。基本方程的数目恰好等于未知 函数的数目，因此，在适当的边界条件下，从基本方程求解 未知函数是可能的。在实际求解中，根据所取基本未知量的 不同，弹性力学平面问题的基本解法可以分为两类：以应力 为基本未知量的称为应力法；以位移为基本未知量的称为位 移法。
z z t
x z
0
2
zx z t
0
0
y
y

2
zy z t 2
弹性力学基础 2.2.1平面应力问题
因板很薄，且外力沿z轴方向不变，可认为整个薄板的 各点都有
z 0
，
zx 0
，
，
zy 0
由剪应力互等定理，有
zx xz 0
x
yx
y
G Gx Gy
Gx
x
T
x
xy
Gy
xy
yx
dy
xy x
x dx x
dx
yx y
dy
y
y
y y
弹性力学基础 2.2.3 平衡微分方程 x
yx y xy
Gx
由
F
x
0 ，得
x yx Gx 0 x y
第二章 弹性力学基础
弹性力学基础 第二章 弹性力学基础
§ 2.1 弹性力学的基本假设 § 2.2 弹性力学平面问题 § 2.3 能量原理
弹性力学基础 2.1 弹性力学的基本假设
1．假定物体是连续的 2．假定物体是完全弹性的 3．假定物体是均匀的 4．假定物体是各向同性的 5．假定位移和形变是微小的
由 Fy 0 ，得
y y xy x Gy 0
x
x
Gy
y
y y
xy
yx
dy
xy x
x dx x
dx
yx y
dy
y
由力矩平衡方程，得
xy yx
弹性力学基础 2.2.4 几何方程
平面问题的几何方程，描述了弹性体内任意一点的应变与位 移之间的关系。经过弹性体内的任意一点 P，沿x轴和y的方向取 两个微小长度的线段 PA ＝ dx 和 PB ＝ dy ，如图所示。经推导后得 出平面问题中表明形变分量与位移分量之间的关系式，如下
弹性力学基础 2.2 弹性力学平面问题
§ 2.2.1 平面应力问题 § 2.2.2 平面应变问题 § 2.2.3 平衡微分方程 § 2.2.4 几何方程 § 2.2.5 物理方程 § 2.2.6 边界条件及圣维南原理 § 2.2.7 平面问题的基本解法
弹性力学基础 2.2.1平面应力问题
几何特征：一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多，例如 等厚度平面薄板。 受力特征：外力和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。 应力特征：如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中 面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有
1 x ( x y ) E 1 y ( y x ) E 2(1 ) xy xy E
E
E (1 2 )

(1 )
弹性力学基础 2.2.5 物理方程
两种平面问题的物理方程写成统一形式。若以应变表示应力 ，则两种平面问题物理方程的统一形式如下
弹性力学基础 2.3 能量原理
系统的能量极值原理指出：在所有满足内部连续条件和 运动学边界条件的位移中，满足平衡方程的位移使系统的总 势能取驻值。如果驻值是极小值，则平衡是稳定的，反之， 使系统势能取驻值的位移函数，则是表达平衡状态的微分方 程的解。
U WdV
1 W T 2
WdV u GdV u qdS
x
弹性力学基础 2.2.5 物理方程
三个弹性常数的关系为 G E 2 1 在平面应力问题中 z yz zx 0 ，则 在平面应变问题中 z yz zx 0 ，则
1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E
T T
弹性力学基础
x
w0
弹性力学基础 2.2.2平面应变问题
所有各点的位移矢量都平行于x y平面，则
z 0
，
zy yz 0
，
zx xz 0
因此，平面应变问题只有三个应变分量，仅为x、y的函数， 与z无关，如下
x x ( x, y) y y ( x, y)
x 0 x 1 E Dε y 1 0 2 y (1 ) 1 xy xy 0 0 2
0 1 1 D 0 1 0 0 2
1 ( ) x y z E 1 y y ( z x ) E 1 z z ( x y ) E 1 yz yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
xy yx xy ( x, y)
弹性力学基础 2.2.3 平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程，描述了微元体应力分量与 体力分量之间的关系。无论是平面应力还是平面应变问题， 平衡方程是一致的。取出一块dxdy,厚度为一个单位长度的 微元体，将其所受力画在其上。设单位体积上的体积力为