绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法一、教学目的1、掌握绝对值的三角不等式；2、掌握不等式证明的基本方法二、知识分析定理1 若a, b为实数，则Ia + b$|a|+|b|,当且仅当abMO时，等号成立。
几何说明：(1)当ab〉O时，它们落在原点的同一边，此时a与一b的距离等于它们到原点距离之和。
(2)如果ab<0,则a, b分别落在原点两边，a与一b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释)。
|a-b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。
b 0 a _b| ---- I b I -- H" lol十I定理2 设a, b, C为实数，则Ia-c|<|a-b|4-|b-c|,等号成立^(a-b)(b-c)>O f即b 落在a, c 之间。
推论1 II ad - I b |国a + b |推论2 Ha|-|b||<|a-b|［不等式证明的基本方法］1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。
比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。
比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。
如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。
2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。
所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“U”表述。
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述淸楚，也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。
3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
4、放缩法：欲证ANB,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得5<S I^I<52,L f再利用传递性，达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。
【典型例题】例h 已知函数f ⑵=血丿，设axb GR,且aHb,求证：I 心）一 口）l<|a-b|思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证 明：证明： 证法一：|f(a)-f(b)|<|a -b|U| 71 + a 2 - J1+ b 2 |<| a- b |^|71 + a 2 - Jl+b 2 |<(a-b)22 + a 2 +b 2 - 2^(1 + a 2)(l + b 2) < a 2 + b 2 - 2abU 1 十 ab u J(1 + 屏)(1 + b 彳)①当abW —1时，式①显然成立； 当 ab>-l 时，式①U (l+ab)2 <(l +『)(l+b2)u2ab 荷 + 匕? ②TaHb,・••式②成立。
故原不等式成立。
证法二：当a=-b 时，原不等式显然成立；当 nH-b 时，Jl +『- Jl-『I丨(1+界)-(1 + ")|」二-"IA )l+a 2 + Vl+b 2 l a l + l b l•:原不等式成立。
点评：此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读 者去思考。
|a + b|=|a-b|例2、设m等于|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证:思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用，lah Ib| 和1这三个数中哪一个最大如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：mP|a|、mN|b|、mMl。
证明：©|x |> m>| a|>=>|H|S|b||x |> m>|bf故原不等式成立。
点评：将题设条件中的文字语言“m等于I』、|b|> 1中最大的一个”转化为符号的语言“mNlal、m>|b|. mNl”是证明本题的关键。
例3、函数⑹的定义域为[0, 1]且f（0）=f（D。
当衍、X2G[o’],衍 7时都有If（咨2）-£（©）1<也-©丨，求证：仗】）1右。
证明：不妨设°^x i 以下分两种情形讨论。
< ±jjlj|f(x2)-f(x L) HXa-Xi |- 2|f(x2)-f(x1)l<| 乂勒-勒2 ,若 2则Of(Q= f(l)• • | f (巧)- f (町)|=| f 仪2)- f (1) + f(0) - f 仪J I<| f(x2)-f(X1)| + |f(x L)-f(0)|<(l-x2) + (x1-0), 1 1= l-(x2-x1)<l- —=-点评：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后, 重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。
例4、已知a>0, b>0,求证：Va 。
思路：如果用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分从题目结构特点看，应采取局部通分的方法。
® | 早十亠+ 7b)证明：Wb 屆丿/ \ / 1 x=吕-爲+ —-药Wb 丿W丿a —b b - a（2 - b）（扁-亦）4^•••原不等式成立。
点评：在上面得到①式后，其分子的符号可由题设条件作出判断，但它没有②明显，所以，变形越彻底，越有利于最后的判断，本题还可以用比值比较法证明，留给读者去完成。
例5-设x>0, y>0,且xHy,求证：1 1(x3+于)亍< (x2 + y竽思路：注意到x、y的对称性，可能会想到重要不等式，但后续思路不好展开，故我们可釆用分析法，从消去分数指数無入手。
证明：・・、>0, y>0,且xHy,] 1:.(宀护)亍<(x2 + y2)2U仗W)2如+丹<=2x3y3 <3x2y2(x2 +y2)<=2xy < 3(z2 + y2)<=2^y < x2 + y2U(£_ y)2 > 0O x = y点评：在不便运用比较法或综合法时，应考虑用分析法。
应注意分析法表述方法，其中寻求充分条件的语句常用符号“U”表述。
本题应用了分析法，既找到了解题思路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举两得。
思路：因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。
结合例6.已知bx cWR“，求证: (ab + a + b + l)(ab+ ac + k+ c )> 16abc a、b、cGR+的条件，运用重要不等式，采用综合法进行证明。
解析：ab + a+b + 1 = (a + l)(b +1)ab + ac+ be + c = (a+ c)(b+ c)© a% bx c € R +:.a + 1 > 2掐 > Os b +1 > 2^/b > 0, a+ c >14^ > 0, b + c > 2-x/bc > 0:.(a + l)(b + l)(a + c)(b + c) > 16abcA即佃b + a + b + l)(ab + ac+bc+c： )> 16abc点评：用重要不等式证明不等式，一要注意重要不等式适用的条件，二要为运用重要不等式创造条件。
另外，同向不等式相加或相乘，在综合法中常用到。
X4 4- V4—即(乂4- V)例7、证明：对于任意实数x、y,有2思路：采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。
证明：用分析法z4 + y4 > — sy(x + y)2U 2(/ + y4)> x3y+ xy3 + 2x2y2f z 4 + y 4 > x 5y + xy 5 ①[z 4 +y 4 > 2z 2y 2 ②不等式②显然成立，下面证明不等式①(J + y 4)-(x 3y+ xy 3) = (x- y)(x 3 - y 3)©x-y^x 3-y 3 同号■■-仗-y)(『-『)2。
，即x 4 + y 4>x 5y + xy 3••• R 4 + y 4>l^(^+y)2点评：上述证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是比较法，两 种方法结合使用，使问题较容易解决，这一点应加以注意。
例8、(1)用反证法证明以下不等式：己知p3 + q3 =2,求证p+qW2。
思路^运用放缩法进行证明。
证明：(1)设 p+q>2,则 p>2 —q, •■•P 5>(2-q)5：・ p 3 + q 3 >『十(2 — qF=q? + (8_12q+ 6q 2 -q 3)=6q 2- 12q 十 8=6(q-l)2 + 2 > 2••〒 +『＞2这与『 + q=2矛盾,/. p + q < 2 (2)试证:(nN2) o+A +2n-lJ1 11 11 1 A 1 1 (2)2 234 56 2n -1 2n ,- + -+A + — £ (24 2□丿又亍'n o 将上述各式两边分别相加得点评：用放缩法证明不等式过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩, 拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩，重要不等式放缩等。
放缩时要注意 适度，否则不能同向传递。
【模拟试题】K 设,b 是满足的实数，那么(A> |a + b|>|a-b|B.| a + b |<| a - b |C 、|a-b|<||a|-|b||D 、|a-b|<|a| + |b|2、设 ab>0,下面四个不等式① I a+b | > | a ；② | a+b I < I b | ；③ | a+b | < |a —b|；④|a+b|>|a| — |b| 中，正确的是( )A ＞①和②③ C.①和④ D.②和④3、下面四个式子①|a-b |=|b-a|;②|a+b |+ |a-b |>2| a|;③扃^a；④扌（间+⑹沧何中，成立的有（）A、1 个B、2 个C、3个D、4个4、若a、b、cER,且处+ be + ac = 1,则下列不等式成立的是（）A、a2+b2+ c2>2B、（a+b + c）2 >3—+ —4-丄2 2 abc fa + b + c） <—C、a b c D> ' ' 35、设a、b、eGR,且a、b、c不全相等，则不等式a3 + b3 + c3 > 3abc成立的一个充要条件是（）A、a、b、c全为正数B、a、b、c全为非负实数C、a+b+c>0D、a + b+c > 06、已知a<0, — l<b<0 则（）A、a > ab > ab2B> ab2 > aL > aC. ab > a > ab2D> ab > ab2 > a2 27、设实数x、y满足％=1,若对满足条件的x、y, x+y+cNO恒成立，c的取值范围是（）A、[J7 - b 4-co）B、（-CO,血-1]C、[血 + 1，+8）D、（-co—亦+ 1]8、对于任意的实数x,不等式Ix + ll+l —恒成立，则实数&的取值范围是__________ o9. __________________________________________________ 若a>c>b>0,贝I) c Q b的值的符号为_______________________________ o111、10> 设d、b> cGR\ 若a+b + c = l,则a b L ______________________ o2 2 2 211>已知x, yWR,且-2, Z=X +幼+ y ,则z的取值范围是。