流体力学NS方程简易推导过程小菜鸟0 引言流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。

1 基本假设空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。

不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。

自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。

连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。

连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS 方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS 方程也适用于描述湍流。

有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。

在层流边界层情况下，分子平均运动自由程与边界层之间存在近似关系：从这个关系中，可以发现，当马赫数非常大但是同时雷诺数非常小的时候，流场微小尺度才可能达到分子平均运动自由程lmd 的程度。

可以想象一下，在大多数我们能观察到的情况下，上述公式的结果都是非常小的，满足连续介质假设，这个公式不成立的情况在大气层外边缘，此时大气分子之间平均动量交换降低，导致粘性变得非常小，雷诺数很高，因此公式计算结果急剧降低，导致连续介质假设失效。

前面讨论了连续介质建设成立的条件以及不成立的例子，下面讨论的都是连λδ≈续介质假设范围内的结果。

2 连续性方程：质量守恒定律的流体表达根据质量守恒定律，我们知道，在流场取的控制体满足如下物理规律：控制体的总质量不随着运动而变化的，在运动过程中控制体始终由相同流体微团组成，因此利用流场物理量将物理规律用数学公式表达可得：根据引论1中的内容，上式左边随体导数可以采用两种形式的偏导数表示：（1）微元体表达形式：根据引论1中微元体的随体导数关系可以得到：或者 （2）张量表达形式：3 动量方程：牛顿第二定律的流体表达根据牛顿第二定律，流场中取出控制体满足如下规律：某一时刻，控制体中所有流体微团的总动量随时间的变化率=控制体中所有流体微团受到的合力。

控制体受力主要包括表面力和体积力，表面力作用于物体表面，例如压力等应力，表面力可以分解为法向力和切向力，法向力通常为压力，切向力通常为粘0t VDdV D ρ=⎰⎰⎰()()=0VDVdV v n dS v dV t t ρρρρ∂∂⎡⎤+⋅=+∇⋅⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()=0v tρρ∂+∇⋅∂=0D v Dtρρ+∇⋅1=-D v Dt ρρ∇⋅()=0j ju t x ρρ∂∂+∂∂性力（当然这不是绝对，因为法向力还包括流场可压缩性引起的法向应力）；体积力作用于流场中每一个流体微团，例如重力，电磁力等。

因此，牛顿第二定律可以表达为：控制体总动量随时间变化率=控制体表面力合力+控制体体积力合力（为了推导方便，下面将体积力忽略，在重力等法向力影响较大时，将该项加入即可）。

利用流场变量可以将上述定律表达为数学公式：其中根据引论1和引论2，可知方程左边具有两种偏导数表达形式，（1）微元体表达形式：根据引论2，上式左边具有这两种偏导数表达形式（一种根据定义，一种引入质量守恒关系）：（2）张量表达形式：根据引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式（一种定义，一种引入质量守恒）：-t V S SDvdV pndS ndS D ρτ=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()t t =-V V SVDv vL dV dV v v n dS D R p dVρρρτ∂==+⋅∂∇+∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-tDvp D ρτ∇+∇⋅()()=+=+t t tDv v vv v v D ρρρρρ∂∂⋅∇∇⋅∂∂=-t iji i jDu p D x x τρ∂∂+∂∂()=+=+t t t i i i i j i j j jDu u u u u u u D x x ρρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂（3）补充说明1：粘性应力表达式上述公式中，我们将表面力表达为表面压力+粘性力的形式，其中表面压力为法向力，粘性力由流体粘性引起，包括法向力和切向力，根据各项同性假设，粘性应力张量可以表达为：其中，\miu 称为动力粘性系数。

根据Stokes 假设，在通常情况下，体积粘性系数，于是上述粘性应力表达为：（4）补充说明2：粘性应力的空间导数在动量方程中，粘性应力的空间导数可以表达为：如果流场为不可压缩s=0并且粘性系数不随空间改变，即温度不变，可以简化为：（5）补充说明3：动力粘性系数表达式：该公式中动力粘性系数是流体的基本变量，该系数表征流体分子之间动量交换的快慢程度，与流场的温度相关，与压力等其他变量关系较小，在温度为21,2ij ij ijj i k ij ji k s s u u u s s x x x τλδμ=+⎛⎫∂∂∂=+= ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭2'=03μλμ=+23j i k ij ij j i k u u u x x x τμδ⎛⎫∂∂∂=+- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭22233233ijj j i k i k ij ij j jj i k j j i k j i i k ij j j j j j i k u u u u u u x x x x x x x x x u u u u s x x x x x x x τμμδδμμμδ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂∂∂∂=+++- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2,0,ijij j ju when s C x x x τμμ∂∂===∂∂∂100到1900K 范围，可以采用Sutherland 公式进行表达：其中，T ref =110.3，T0和\miu0则可以采用任何温度的结果，例如在常温288K 情况下，动力粘性系数为1.7894X10-5。

4 能量方程：能量守恒定律的流体表达根据能量守恒定律，流场中取出控制体满足如下物理规律：控制体的总能量增加=控制体受到外力做功+外界向控制体热传导 采用流场变量可以将该物理定律表达为数学形式(e=CvT 表示流场内能，内能可以采用定容比热乘以温度得到)：其中，根据引论1和2可知，方程左边具有两种偏导数表达形式：（3） 微元体表达形式：根据引论1和2可知上式具有两种偏导数表达形式：（2）张量表达形式 A: 总能公式E=e+ v 2/21.51.51.500000=/,[100,1900]ref ref refref T T T T T when T K T T T T T T T μμ⎛⎫+⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭21-t 2V S S SD e v dV pv ndS v ndS k T ndS D ρτ⎛⎫+=⋅+⋅⋅+∇⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()222111==+t 2t 22=VV VD L e v dV e v e v v dV D R pv v k T dVρρρτ⎧⎫∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++∇⋅+⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭-∇⋅+∇⋅⋅+∇⋅∇⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()21=t 2D e v pv v k T D ρτ⎛⎫+-∇⋅+∇⋅⋅+∇⋅∇ ⎪⎝⎭()2222211111=t 22222D e v e v v e v e v v e v D t t ρρρρρ∂∂⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅∇+=++∇⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()=t j ij i j j jj DE Tpu u k D x x x xρτ⎛⎫∂∂∂∂-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭根据引论1和引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式：B: 内能公式e=E- v 2/2将总能关系式代入上述公式可得：因此可得内能关系式为：根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。

C ：焓公式h=e+p/rou将内能关系式代入上式可得：根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。

D ：总焓公式h0=h+v 2/2=E+p/rou注意上式中采用了引论2中的内容，将焓关系式代入上式可得：于是可得总焓关系式为：()()=t j j j jDE E E u E Eu D t x t x ρρρρρ∂∂∂∂+=+∂∂∂∂21==t t 2t t t ij i i i i i i ij Du Du De D DE DE DE p E v u u u u D D D Dt D Dt D x x τρρρρρρρ∂∂⎛⎫⎛⎫--=-=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()=t ij i j ij i i i ij j j jj i j j j j u De Tp T pu u k u u ps k D x x x xx x x x xτρττ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂-++-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭t i ij j jj u De Tps k D x x xρτ⎛⎫∂∂∂=-++ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭==t t t t Dh D p De Dp p D De Dp e ps D D D Dt Dt D Dtρρρρρρρ⎛⎫++-=++ ⎪⎝⎭=t i ij j j ju Dh Dp Tk D Dt x x x ρτ⎛⎫∂∂∂++ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭201==t t 2t t t ij i i i i i jDh Du D Dh Dh ph v u u u D D D D D x x τρρρρρ∂∂⎛⎫++=-+ ⎪∂∂⎝⎭0=t ij i ij i i j jj i j Dh u Dp Tp k u u D Dt x x xx x τρτ⎛⎫∂∂∂∂∂++-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。