| 为由概P率i =论σ可i 1知2π，e各−δi2测(2量σi2 )数dδ据i 同(时i =出1,现2,"在,相n)应区域
的概率为
∏ P =
n i =1
Pi
=
1
σ1σ 2 "σ n
n
2π
∑ − δi2 e i=1
(2σi2 )dδ1dδ 2 "dδ n
1. 最小二乘原理
| 测量值 l1,l2 ,",ln 已经出现，有理由认为这n个测 量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最
ti /0 C
10
20
30
40
50
60
li / mm 2000.36 2000.72 2000.8 2001.07 2001.48 2000.60
| 1）列出误差方程
vi = li − ( y0 + ay0ti )
| 令 y0 = c, ay0 = d为两个待估参量，则误差方程为
vi = li − (c + tid )
x2 ,",
xt
)
⎪⎪ ⎬
⎪
vn = ln − fn (x1, x2 ,", xt )⎪⎭
残差方程式
1. 最小二乘原理
| 若 l1,l2 ,",ln 不存在系统误差，相互独立并服从正 态分布，标准差分别为σ1,σ 2 ,",σ n，则l1, l2 ,", ln出
现在相应真值附近 dδ1, dδ2,", dδn 区域内的概率
大，应有
δ12
+
δ
2 2
+"
+
δ
2 n
= 最小
σ12 σ 22
σ n2
| 由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件
应表示为
v12 + v22 +" + vn2 = 最小
σ
2 1
σ
2 2
σ n2
2. 等精度测量线性参数的最小二乘处理
| 线性参数的测量方程和相应的估计量为：
Y1 = a11 X1 + a12 X 2 + " + a1t X t ⎫
i =1
i =1
i =1
i =1
⎪ ⎪⎭
3. 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
| 整理得：
p1a11v1 + p2a21v2 + " + pnan1vn = 0 ⎫
p1a12v1
+
p2a22v2 #
+"+
pn an 2 vn
=
0⎪⎪ ⎬ ⎪
p1a1tv1 + p2a2tv2 + " + pnantvn = 0 ⎪⎭
3. 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
| 不等精度 pi
等精度
v1 p1 = l1 p1 − a11 p1 x1 + a12 p1 x2 + " + a1t p1 xt
⎫ ⎪
v2
p2 = l2
p2 − a21 #
p2 x1 + a22
p2 x2 + " + a2t
p2
xt
⎪ ⎬
⎪
vn
pn = ln
Y2
=
a21 X1
+
a22 X 2 #
+
"
+
a2t
X
t
⎪⎪ ⎬
⇒
⎪
Yn = an1X1 + an2 X 2 + " + ant X t ⎪⎭
y1 = a11x1 + a12 x2 + " + a1t xt ⎫
y2
=
a21x1
+
a22 x2 #
+"+
a2t xt
⎪⎪ ⎬ ⎪
yn = an1x1 + an2 x2 + " + ant xt ⎪⎭
| 残差方程为
v1 = l1 − (a11x1 + a12 x2 + " + a1t xt ) ⎫
v2
=
l2
− (a21x1 + #
a22 x2
+
"
+
a2t
xt
)
⎪⎪ ⎬
⎪
vn = ln − (an1x1 + an2 x2 + " + ant xt )⎪⎭
2. 等精度测量线性参数的最小二乘处理
|令
| 即：
AT PV = 0
不等精度的正规方程
3. 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
| 将 V = L − AXˆ 代入上式，得
AT PL − AT PAXˆ = 0
AT PAXˆ = AT PL
C = AT PA
CXˆ = AT PL
Xˆ = C −1AT PL （待测量Ｘ的无偏估计）
3. 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
1. 最小二乘原理
| 最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛 应用的数据处理方法。
| 本章将重点阐述最小二乘法原理在线性参数和非 线性参数估计中的应用，使同学们掌握最小二乘 法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等 精度测量中线性、非线性参数的最小二乘估计方 法，并科学地给出估计精度。
1. 最小二乘原理
| 不等精度测量的线性参数最小二乘原理
Pn×n
=
⎡ p1 0 " 0 ⎤ ⎢⎢0 p2 " 0⎥⎥
⎢
#⎥
⎢⎣0
0
"
⎥ pn ⎦
=
⎡σ
⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎣⎢0
σ 2 2 1
σ2 σ
# 0"
0
2 2
σ
" 0⎤ ⎥
" 0⎥ ⎥ ⎥
2 σ n2 ⎥⎦
权矩阵
| 不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：
V T PV = 最小 （L − AXˆ）T P（L − AXˆ）= 最小
| 试求 x1, x2 的最可信赖值。
a12v1
+ a22v2 + " + an2vn #
=
0⎪⎪ ⎬ ⎪
a1tv1 + a2tv2 + " + antvn = 0 ⎪⎭
正规方程的矩阵形式
ATV = 0
2. 等精度测量线性参数的最小二乘处理
| 将V = L − AXˆ 代入到 ATV = 0 中，得 AT L − AT AXˆ = 0
v2
=
l2
−
a21 x1
+ #
a22 x2
+"+
a2t xt
⎪⎪ ⎬ ⎪
vn = ln − an1x1 + an2 x2 + " + ant xt ⎪⎭
v12 + v22 + " + vn2 = 最小
∑ ⎧⎪∂( n vi2 )
⎪ i=1
=0
⎪ ⎪ ⎨
∂x1 #
⎪n
∑ ⎪∂(
⎪ ⎪⎩
vi2 )
i =1
第三章 参数的最小二乘估计法
华东理工大学 罗娜 naluo@
参考书目： • 费业泰. 误差理论与数据处理. 机械工业出版社, 2002.
主要内容
| 最小二乘法原理 | 等精度测量线性参数的最小二乘处理 | 不等精度测量线性参数的最小二乘处理 | 非线性参数的最小二乘处理 | 最小二乘估计量的精度估计 | 组合测量的最小二乘法处理
| 按照最小二乘的矩阵形式计算
⎡2000.36⎤
⎢⎢2000.72⎥⎥
⎢2000.80⎥ L = ⎢⎢2001.07⎥⎥
⎢2001.48⎥
⎢
⎥
⎣⎢2001.60⎦⎥
Xˆ
=
⎡c ⎢⎣d
⎤ ⎥ ⎦
⎡1 10 ⎤
⎢⎢1
20
⎥ ⎥
⎢1 30 ⎥
A = ⎢⎢1
40
⎥ ⎥
⎢1 50 ⎥ ⎢⎥ ⎣⎢1 60 ⎥⎦
pn − an1
pn x1 + an2
" pn x2 +"+ ant
pn
xt
⎪ ⎭
vi ' li ' ai1'
ai2 '
ait '
| 则有：
V 'T V ' = 最小
（L'− A' Xˆ）（T L'− A' Xˆ）= 最小
3. 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
|不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规
+"+
n i =1
⎪
ai
2
ait
xt
⎪ ⎬
#
⎪ ⎪
n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ aitli = ait ai1x1 + ait ai2 x2 + " + ait ait xt
| 特点： i=1
i =1
i =1
i =1
⎪ ⎪⎭
¾ 主对角线分布着平方项系数，正数
¾ 相对于主对角线对称分布的各系数两两相等
2. 等精度测量线性参数的最小二乘处理
∂xn
=
0
2. 等精度测量线性参数的最小二乘处理