第10章 无穷级数练习和习题解答练 习 10.11.写出下列级数的一般项： (1) +-+-+-111111；解：该级数一般项为1)1(--=n n u(2) +-+-97535432a a a a ； 解：该级数一般项为12)1(11+-=++n a u n n n (3)++++1741035221； 解：该级数一般项为12+=n nu n(4) +++++-635241021.解：该级数一般项为12+-=n n u n2.用定义判断下列级数的收敛性： (1)∑∞=-0)1(n n解： 01111112=-++-+-= n S ，1111111112=+-++-+-=+ n S 显然n n S ∞→lim 不存在，故原级数发散.(2)∑∞=+11lnn nn 解：ln )1ln(1ln-+=+=n nn u n [])1ln(ln )1ln()3ln 4(ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln +=-+++-+-+-=n n n S n∞=∞→n n S lim ，故原级数发散.(3)∑∞=⋅15199n n解：)511(499511)511(51995199519911nn n k k n k k n S -=--==⋅=∑∑== 499lim =∞→n n S ，故原级数收敛. (4)∑∞=-0)1(n nn x 解：x x x x x x S nn n k kn k kkn +--=----=-=-=∑∑-=-=1)(1)(1)(1)()1(110 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤<<-+=+--=∞→∞→时或不存在，时1111,111)(1lim lim x x x xx x S n n n n ，所以当11<<-x 时原级数收敛，当1-≤x 或 1≥x 时原级数发散.(5)∑∞=+-1)12)(12(1n n n 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-=)12(1)12(121)12)(12(1n n n n u n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)12(1121n S n ，21lim =∞→n n S ，故原级数收敛.练 习 10.21.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性： (1)∑∞=-1212n n n ； 解：因为通项)(1212∞→→-=n nn u n ，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.(2)∑∞=16sinn n π； 解：因为6sinlim lim πn u n n n ∞→∞→=不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.(3)∑∞=⋅11sin n n n ;解：因为011sinlim lim ≠==∞→∞→nn u n n n ，故原级数发散. (4)∑∞=151n n;解：因为0151limlim ≠==∞→∞→n n n n u ，故原级数发散.(5)∑∞=-1623n nnn ; 解：因为∑∑∑∞=∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-11131216263623n n n n n n n n n nn n ，而级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛121n n 和∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛131n n 均为公比小于1的几何级数，都收敛，因此原级数收敛.(6)∑∑∞==+1011001212n n n n ; 解：因为级数∑∞=10121n n收敛，在其前面加上100项后的新级数仍然收敛. (7)∑∞=+1)2131(n n n 解：因为级数∑∞=131n n 为发散调和级数，而级数∑∞=121n n 为收敛的几何级数，收敛级数和发散级数之和发散.2.若级数∑∞=1n nu收敛，指出下列哪些级数是一定收敛的，哪些级数是发散的.(1)∑∞=--21)(n n nu u;解：因为级数∑∞=1n nu收敛，所以级数∑∞=2n nu和∑∞=-21n n u也收敛，因此原级数也收敛.(2)∑∞=+1n kn u( k 为某一确定的自然数)解：因为级数∑∞=1n nu收敛，而级数∑∞=+1n kn u相当于级数∑∞=1n nu去除前k 项后的新级数也收敛.(3)∑∞=11n nu 解：因为级数∑∞=1n n u 收敛，所以0lim =∞→n n u ，故∞=∞→nn u 1lim ，即级数∑∞=11n n u 发散. 练 习 10.31.用比较判别法判别下列级数的敛散性：(1)121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；解：因为通项nnnn n n n n u ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21212，而级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛121n n为收敛的几何级数，根据比较判别法，级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n nn n 收敛.(2)21121n n∞=+∑；解：因为通项221121n n u n <+=，而级数∑∞=121n n为收敛的p -级数，根据比较判别法，级数21121n n∞=+∑收敛.(3)1n ∞=；解：因为通项21)2(1)2(12+=+>+=n n n n u n ，而级数∑∞=+121n n 相当于发散调和级数∑∞=31n n，根据比较判别法，级数1n ∞=发散.(4)11n na b ∞=+∑ )0,0(>>b a ；解：因为通项)(11b a n b na u n +>+=，又调和级数∑∞=11n n 发散，因此级数∑∞=+1)(1n b a n 也发散，根据比较判别法，原级数∑∞=+11n b na 也发散.(5)311031n nn ∞=-∑； 解：令13103-=n n u n ，21n v n =，显然参照级数∑∞=021n n为收敛的p -级数，而2311310limlim nn nv u n nn n -=∞→∞→3101310lim 33=-=∞→n n n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数311031n nn ∞=-∑也收敛. (6)2111n n n ∞=++∑； 解：令112++=n n u n ，21n v n =，显然参照级数∑∞=021n n为收敛的p -级数，而1111lim lim 22=++=∞→∞→nn n v u n nn n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数2111n n n ∞=++∑也收敛.(7)1n ∞=； 解：令1212-++=n n n u n ，2/31n v n =，显然参照级数∑∞=02/31n n为收敛的p -级数，而2/321121limlim n n n n v u n nn n -++=∞→∞→1121lim 22/3=-++=∞→n n n n n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数1n ∞=也收敛.(8)1n ∞=.解：因为通项2/34411nn nn n u n =<+=，参照级数∑∞=02/31n n 为收敛的p -级数，根据比较判别法，原级数1n ∞=也收敛.2.用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性： (1)∑∞=+112tan n n n π；解：因为1212tan 2tan1(limlim 121<=+=++∞→+∞→n n n nn n n n u uππ），根据比值判别法，原级数∑∞=+112tann n n π收敛.(2)∑∞=⋅123n nnn ； 解：因为12323lim lim >=⋅=∞→∞→nnn n n n n n u ，根据根值判别法，原级数∑∞=⋅123n n n n 发散. (3)11n n n ∞=∑； 解：因为101lim 1lim lim<===∞→∞→∞→n n u n nn n nn n ，根据根值判别法，原级数11n n n ∞=∑收敛. (4)2113n n n n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑； 解：因为13311lim 31lim lim 2<=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→∞→e n n n u nn nn n n n n n ，根据根值判别法，原级数2113n n n n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛. (5)211(1)n n n ∞=-∑； 解：因为1111lim 11lim lim 2<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→∞→en n u nn n n n n n n ，根据根值判别法，原级数211(1)n n n ∞=-∑收敛. (6)[]11ln(1)nn n ∞=+∑.解：因为()10)1ln(1lim )1ln(1lim lim <=+=+=∞→∞→∞→n n u n nn n n n n ，根据根值判别法，原级数[]11ln(1)nn n ∞=+∑收敛.3. 判别下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：(1)1(1)21nn n ∞=--∑；解：该级数为交错级数，令121-=n u n ，由于11)1(21121+=-+>-=n n u n n u ，且0121lim lim =-=∞→∞→n u n n n ，根据交错级数收敛判别法，该级数收敛.又由于∑∞=0n n u 是发散的调和级数，因此原级数1(1)21n n n ∞=--∑条件收敛.(2)11(1)(1)n nnn n n -∞=-+∑； 解：由于01111lim 1lim )1(lim lim ≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→∞→∞→∞→en n n n n u nn n n n n n n n ，不满足级数收敛的必要条件，因此原级数11(1)(1)n nnn n n -∞=-+∑发散.(3)11(1)2n n n n ∞+=-∑； 解：该级数为交错级数，其对应的正项级数∑∞=12n n n收敛，因此该级数绝对收敛. (4)11cos4nn n ππ∞=∑； 解：令4cos 1ππn u n n =，由于n n n n u πππ14cos1≤=，而级数∑∞=01n n π是收敛的p -级数，根据比较判别法级数∑∞=0n n u 收敛，因此原级数11cos4nn n ππ∞=∑绝对收敛. (5)11(1)n pn n -∞=-∑. 解：该级数为交错级数，令pn n u 1=，根据p -级数的收敛性质，我们知道，1>p 时，∑∞=01n p n 收敛，因此原级数11(1)n pn n -∞=-∑绝对收敛；10≤<p 时，∑∞=01n p n 发散，n p p n u n n u =<+=+1)1(11，且0lim =→∞n n u ，根据莱布尼茨判别法，原级数11(1)n p n n -∞=-∑收敛，且为条件收敛；0≤p 时，pn n u 1=单调递增，0lim ≠∞→n n u ，不满足级数收敛的必要条件，原级数11(1)n pn n -∞=-∑发散.练 习 10.41.求下列幂级数的收敛域： (1)11ln(1);1n n n x n ∞+=++∑ 解：令1)1ln(++=n n a n ，1)1ln(12)2ln(limlim 1=++++=→∞+→∞n n n n a a n nn n ，收敛半径1=R ，收敛区间为)1,1(-，当1=x 时，级数∑∞=++11)1ln(n n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+++-111)1ln()1(n n n n 收敛，所以原级数的收敛域为)1,1[-.(2)1(2);!nn x n ∞=∑ 解：令!2n a n n =，012lim 2!)!1(2lim lim 11=+=⋅+=→∞+→∞+→∞n n n a a n n n n nn n ，所以收敛半径为+∞=R ，原级数的收敛域为),(+∞-∞.(3)1();nn nx ∞=∑解：令nn n a =，+∞=++=+=→∞+→∞+→∞)1()1(lim )1(lim lim 11n n n n n a a n nn n n n nn n ，所以收敛半径为0=R ，原级数只在0=x 处收敛.(4)21;n n n x ∞=∑解：令n n n n a 2)1(-+=，2x t =，原关于2x 的幂级数化为关于t 的幂级数∑∞=-+12)1(n n n t n n ，n n n nn n n n n n a a 2)1(2)12(lim lim 11-++-+=+→∞+→∞ 21212lim =+++++⋅=→∞n n nn n ，∑∞=-+12)1(n nn t n n 收敛半径211=R ，∑∞=-+122)1(n nn x n n 的收敛半径为222=R ，当22±=x 时，级数∑∑∞=∞=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+112)1(222)1(n n nnn n n n 发散，因此，原幂级数的收敛域为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22. (5) nn n x n)1(21-∑∞=解：设1-=x y ，na nn 2=，原关于1-x 的幂级数转化为关于y 的幂级数.22lim lim ==→∞→∞n nn nn n n a ,幂级数nn n y n ∑∞=12的收敛半径为21=R ，收敛区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21因此幂级数nn n x n)1(21-∑∞=的收敛半径也为21=R ，收敛区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21，当21=x 时，级数∑∑∞=∞=-=-111)1()21(2n n n n n n n 收敛，当23=x 时，级数∑∑∞=∞==111)21(2n n n n n n 发散，因此，幂级数nn n x n)1(21-∑∞=的收敛域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,21.2.利用例10-33的结果，求级数102(1)!n n n +∞=+∑的和.解：根据例10-33，0,(,).!nx n x e x n ∞==∈-∞+∞∑ ∑∞=++01)!1(2n n n ∑∞==1!2n n n 1!20-=∑∞=n nn 12-=e . 3.求幂级数21021n n x n +∞=+∑的和函数，并求级数2111212n n n ∞+=+∑的和. 解：设∑∞=++=01212)(n n n x x S ，两边同时对x 求导，得'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='∑∞=+01212)(n n n x x S ∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=01212n n n x ∑∞==02n nx 211x -=，11<<-x 两边同时在],0[x 上积分，得='⎰xdx x S 0)(⎰-xdx x 0211x xS x S -+=-11ln 21)0()(，由0)0(=S ，得xx x S -+=11ln 21)(，11<<-x ，即21021n n x n +∞=+∑x x-+=11ln 21，11<<-x 3ln 21211211ln21)21(2112121121120120=-+==⎪⎭⎫⎝⎛+=++∞=+∞=∑∑S n n n n n n . 练 习 10.51. 写出下列函数的n 阶麦克劳林公式： (1))1ln()(x x f += 解：xx f +='11)(，2)1(1)(x x f +-=''，k k k x k x f )1()!1()1()(,1)(+--=- ， ,3,2=k ， 0)0(=f ，1)0(='f ，)!1()1()0(1)(--=-k f k k ， ,3,2=k )(!)0()1ln()(0)(x R x k f x x f n knk k +=+=∑= 1111)1)(1()1(1)1(++=-++-+-=∑n n n k n k k x n x k ξ，ξ在0到x 之间，]1,1(-∈x (2).)1()(αx x f +=解：1≠α时，1-)1()(ααx x f +='，2-)1(1-)(αααx x f +=''）（， 1)0(=f ，k k x k x f-++--=αααα)1)(1(1)()( ）（)1(1)0()(+--=k f k ααα ）（，)(!)0()1()(0)(x R x k f x x f n knk k +=+=∑=α)(!)1()1(!2)1(12x R x n n x x n n ++--++-++=αααααα其中11!)1)(()1()(+--+--=n n n x n x n x R αθααα ，10<<θ.2.将下列函数展开成x 的幂级数，并求收敛域：(1)22)(x e x x f =；解：由于 +++++=!!212n x x x e nx,+∞<<∞-x 所以 +++++=!2!2221222n x x x e n nx ,+∞<<∞-x)!2!2221()(22222 +++++==n x x x x e x x f n nx+++++=+!2!22222432n x x x x n n∑∞=+=02!2n n n n x ,+∞<<∞-x (2)2cos)(2x x f =； 解: 2cos 12cos )(2x x x f +==x cos 2121+= 由于∑∞=-=02)!2()1(cos n nn n x x ,+∞<<∞-x∑=-+=+=n n nn n x x x f 02)!2()1(2121cos 2121)(,+∞<<∞-x(3))1ln()(2x x x f ++=.解: 212222111122111)(-+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++='）（x xx x x x x f 根据 ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)12ααααααα（,11<<-x ,可知2121)(）（x x f +=' +-----++--+-=n x n n x x 242!)212()25)(23)(21(!2)23)(21(211+-⋅⋅⋅⋅-++⋅+-=n n n x n n x x 2422!2)12(5311!2231211）（ +-⋅⋅⋅⋅-+=∑∞=12!2)12(53111n nnnx n n ）（，11<<-x两边在],0[x 上积分∑∞=++-⋅⋅⋅⋅-+=-112)12(!2)12(5311)0()(n n n nx n n n x f x f ）（，11≤≤-x由于0)0(=f ，所以∑∞=++--+=++=1122)12(!)!2(!)!12(1)1ln()(n n nx n n n x x x x f ）（，11≤≤-x3.将函数x x f ln )(=展开成1-x 的幂级数. 解：对)(x f 求导，得 x x f 1)(=')1(11-+=x 由于∑∞=-=+-++-+-=+032)1()1(111n n n nn x x x x x x ，11<<-x 所以∑∞=--=-+='0)1()1()1(11)(n n n x x x f ，111<-<-x 上式两边在区间],1[x 上积分，得∑∞=++--=-011)1()1()1()(n n nn x f x f ，111≤-<-x由于0)1(=f ，因此∑∞=---==11)1()1(ln )(n nn nx x x f ，210≤-<x . 4.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值： (1)e （精确到0.001）解：根据)(!0x R k x e n nk k x+=∑=，1)!1()(++=n n x n e x R ξ，ξ在0到x 之间21=x 时，只要 311021)!1()21(-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n e R ξ，即只要 3111021)!1(221)!1()21(-++<⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n e R ξ当4=n 时，3414102!5121)!14(2-+<⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+，所以只要去展开式的前5项就可得到满足精度的近似值：648.121234121231212121121!14324021≈⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛≈∑=k kk e(2)5250（精确到0.001）解：515555243713737243250⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+= 根据)(!)1()1(!2)1(1)12x R x n n x x x n n ++--++-++=+ααααααα（,11<<-x取51=α，2437=x ， 001.051!)51()251)(151(5151!)51)(()1()51(111<⎪⎭⎫ ⎝⎛---<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=++--n n n n n n n n R αθααα当3=n ，003.000022.051!)51()251)(151(51)51(1<≈⎪⎭⎫ ⎝⎛---<+n n n n R0057.12437!3)251)(151(512437!2)151(512437511)243713251≈⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+（ 017.30057.13243713250515=⨯≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(3)3ln （精确到0.0001） 解：)31ln(1)31(ln ))3(ln(3ln eee e e e e -++=-+=-+= 根据1111)1)(1()1(1)1()1ln(++=-++-+-=+∑n n nk nk k x n x k x ξ，ξ在0到x 之间，]1,1(-∈x 取eex -=3，1113)1(1)1)(1()1(+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤++-n n n n e e n x n ξ，当3=n 时，0001.00000288.03)1(1)1)(1()1(111<≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤++-+++n n n n e e n x n ξ，取展开式的前3项即可得到近似值：0986.133********)1(1)31ln(13ln 32311≈⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-++=∑=-e e e e e e e e k e e kk k (4)。