dJ x2dm 2 R4 cos3 d
J /2 2 R4 cos3 d / 2
2 R4 /2 cos3 d / 2
2 R4 (cos2 sin
3
/2 / 2

2 3
/2
cos d )
/ 2

d 2
d2t
v

rωet

an
ra

evt
at
at r
an rω2
a

ret

rω2
en
大学物 理学
例 在高速旋转的微型电动机里，有一 圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的 转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动
后其转速随时间变化关系为： m (1 et / ) 式中 m 540 r s1， 2.0 s ．求：
z
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0
r P’(t+dt)
.. O
P(t)
x
角位移 (t t) (t)
角速度矢量 lim d
t t0 dt 方向: 右手螺旋方向
大学物 理学
刚体定轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.
质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
JC
2
l / 2 r 2dr
0
1 l3
12
1 ml2
12
如转轴过端点垂直于棒
J A

l r 2dr
0
1 ml2 3
大学物 理学
JA

JC

m( l )2 2

1 12
ml 2

1 4
ml 2

1 3
ml 2
平行轴定理：
解 设圆盘面密度为 ，
r 在盘上取半径为 ，宽为 dr
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r 2dm 2π r3dr
J R 2π r3dr π R4
0
2
而 m π R2
所以 J 1 mR2 2
大学物
理学 练习： 质量为m2，半径为r2的圆盘上挖去一个 质量为m1，半径为r1的圆盘，求剩下部 分对转轴的转动惯量。
2 R4 (0 2sin
3
) / 2
/ 2
4 2 R4 m 2 mR2
3
4 R2 3
大学物 理学
例 均匀球体，质量为m ，半径为R ，某一直径为转轴
解1：取一微元薄球壳，(半径x，厚度dx，质量 dm)，其转动惯 量
体密度： m / 4 R3 dm 4 x2dx
大学物 理学
刚体是受力时形状和体积不改变的物 体---理想化模型。
刚体是特殊的质点系，其上各质点间 的相对位置保持不变。
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
大学物 理学
刚体的运动形式：
平动：可用质心的运动代表
转动：分 定轴转动(本章讨论) 定点转动(如陀螺的运动)
平面运动： (如车轮的运动)
2 ( R24 R14 )
44

2


m (R22
R12 )

( R22

R12 )(R22 4

R12 )

1 2
m(R22

R12 )
大学物 理学
例 均匀薄球壳，质量为m ，半径为R ，某一 直径为转轴。
解：取微薄圆环
m 4 R2
x Rcos
dl Rd
dm 2 x dl 2 R2 cosd
18000 r·min-1 ．转子的角加速度与时间成正
比．问在这段时间内，转子转过多少转？
解 令 ct，即 d ct ，积分
dt

t
d c tdt
得 1 ct 2
0
0
2
大学物 理学
1 ct 2
2
当 t =300 s 时
18 000 r min 1 600 π rad s1
z
m1 r1 m2 r2
注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。
大学物 理学
例 均匀薄圆环，质量m,内外半径分别为R1、R2
把盘分成无限多个环。取其中一个环(半径r，宽dr，质量 dm)，其转动惯量


m
(R22
R12 )
dm 2rdr
dJ r2dm
J R2 2 r r2dr R1
大学物 理学
二、刚体定轴转动的描述 (运动学问题)
刚体之转轴在刚体转动过程中始终 保持不变，这种转动叫定轴转动。

转动平面：过刚体上某点p 垂直于转轴的平面。
转动中心：转动平面与轴 的交点 o
p在转动平面内绕o作圆周 运动
可用圆周运动的角 量描述刚体的运动。
转动平面
r o
p

大学物 理学
角坐标 (t)
z
O rj
Fej
mj
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
大学物 理学
M ej ( m jrj2 )α
j
转动惯量定义
J mjrj2 J r2dm j
转动定律 M J
z
O rj
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中M J与平动中F ma
地位相同．
大学物 理学
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全 ？
大都分布于外轮缘？
大学物 理学
三 转动惯量 J miri2
i
转动惯量反映了刚体转动惯性的大小 决定转动惯量的因素
(1)与刚体的总质量有关 (2)与刚体的质量分布有关 (3)与刚体的转轴位置有关
2π 2π 450
大学物 理学
2 力矩 刚体定轴转动的 转动定律
大学物 理学
质 点 或 刚体平动 的运动定律
F = ma
合外力
惯性质量 合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律
主要概念
使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
大学物 理学
一 力矩
M
对于定点o转动而言：
大学物 理学
（2）合力矩等 于各 分力矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rjjO来自d rii Fji
Fij
M ji
Mij M ji
大学物 理学
注意:
(1)力矩是对点或对轴而言的; (2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴 转动时 M >；0 使刚体顺时针绕定轴转动 时 M. < 0
J mR2
m R
大学物 理学
练习
1.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质
点系对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量
大学物 理学
例 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒，求通
过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
C
l 2
dr l 2
Ar
dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴为 处的
F
Fi 0,
i
F

Mi 0
i
大学物 理学
讨论
（1）若力
F
不在转动平面内，把力分
解为平行 和垂 直于 转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk

r

F
z


F
k
O rFz
F

M z rF sin
大学物 理学
二 转动定律
（1）单个质点 m
与转轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sinθ M rFt mr 2
M mr2
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
大学物 理学
（2）刚体
质量元受外力
内力
Fij
Fej，
Mej Mij mjrj2
外力矩 内力矩
3
dJ 2 x2dm 2 4 x4dx
3
3
J R 8 x4dx 03
8 R5
35
8
m
R5
3 4 R3 5
3
2 mR2 5
大学物 理学
解2：取 z ~ z dz 的一薄球台，该球台半径 r R2 z2
dJ 1 r 2dm 1 r 2 r 2dz
做匀变速转动．
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x

x0

v0t

1 2
at 2

0
0t

1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )

2

2 0

2 (
0)
大学物
理学
三 角量与线量的关系
ω d
dt