二次函数的图像与性质一、知识点梳理二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . 顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 求抛物线的顶点、对称轴的方法➢ 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. ➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数图象的平移平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．二、典型例题（一）二次函数的性质 例1 对于抛物线()31212++-=x y ，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线1=x ；③顶点坐标为（－1,3）；④当x ＞1时，y 随x 的增大而减小。

其中正确结论的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 例2 抛物线2222122x y ,x y ,x y =-==共有的性质是（ ） A 、开口向下 B 、对称轴是y 轴 C 、都有最低点 D 、y 随x 的增大而减小（二）二次函数性质的应用 例 已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数。

（1）求满足条件的m 值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时，当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？（三）二次函数值的大小比较例 已知二次函数()k x y +-=212的图像上有A()12y ，，B ()22y ，，C ()352y ,-三点，则321y ,y ,y 的大小关系是（ ）A 、321y y y ＞＞B 、312y y y ＞＞C 、213y y y ＞＞D 、123y y y ＞＞ （四）抛物线的平移问题例 将抛物线c bx ax y ++=2向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线322++=x x y ，求c ,b ,a 的值。

（五）二次函数与其他函数相结合例 已知抛物线bx ax y +=2和直线b ax y +=在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（ ）（六）二次函数图像与abc 的关系例 如图为二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像，则下列说法：①a ＞0； ②02=+b a ；③c b a ++＞0；④当x ＜1-＜3时，y ＞0.其中正确的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4三、课堂练习1、有下列函数：（1）x y -=；（2）x y 2=；（3）xy 1=；（4）()02＜x x y =。

其中y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 2、关于二次函数()22+=x y 的图像，下列说法正确的是（ ）A 、开口向下B 、最低点是A （2,0）C 、对称轴是直线2=xD 、对称轴的右侧部分是上升的 3、如图所示的四个二次函数的图像分别对应的是①2ax y =；②2bx y =；③2cx y =；④2dx y =。

则d ,c ,b ,a 的大小关系为（ ）A 、d c b a ＞＞＞B 、c d b a ＞＞＞C 、d c a b ＞＞＞D 、c d a b ＞＞＞4、已知点()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--32121271y ,y ,,y ,，在函数()212-=x y 的图像上，则321y ,y ,y 的大小关系为（ ）A 、321y y y ＞＞B 、312y y y ＞＞C 、132y y y ＞＞D 、123y y y ＞＞5、将抛物线122+-=x y 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ）A 、()1122-+-=x y B 、()3122++-=x y C 、()1122+--=x y D 、()3122+--=x y6、二次函数23x y =的图像向右平移1个单位长度，所得的图像的函数表达式是（ ） A 、()213-=x y B 、()213+=x y C 、12+=x y D 、12-=x y7、如图，二次函数c bx x y ++=2的图像过点B （0，－2）。

它与反比例函数xy 8-=的图像交于点A ()4,m ，则这个二次函数的表达式为（ ）A 、22--=x x yB 、22+-=x x yC 、22-+=x x yD 、22++=x x y 8、已知二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，有下列5个结论： ①abc ＜0；②c a b +＜；③c b a ++24＞0；④b c 32＜； ⑤()()1≠++m b am m b a ＜。

其中正确结论的序号为_______。

（把正确结论的序号都填上）四、课后作业1、对于()2322+-=x y 的图像，下列叙述正确的是（ ）A 、顶点坐标为（－3,2）B 、对称轴为直线3=yC 、当3＞x 时，y 随x 的增大而增大D 、3＞当x 时，y 随x 的增大而减小 2、已知二次函数mm mx y +=2的图像是开口向下的抛物线，则=m ________，当x _______时，y随x 的增大而增大。

3、将抛物线342+-=x x y 向右平移2个单位长度后，所得的新抛物线的顶点坐标为（ ） A 、（4，－1） B 、（0，－3） C 、（－2，－3） D 、（－2，－1）4、将抛物线23x y =向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）A 、()2332+-=x y B 、()2332--=x y C 、()2332++=x y D 、()2332-+=x y5、如图是二次函数()02≠++=a c bx ax y 图像的一部分，直线1-=x 是对称轴，有下列判断：①02=-a b ；②024＜c b a +-；③a c b a 9-=+-；④若()13y ,-，⎪⎭⎫⎝⎛223y ，是抛物线上两点，则21y y ＞，其中正确的是（ ）A 、①②③B 、①③④C 、①②④D 、②③④ 6、、根据下列条件确定抛物线的表达式。

（1）抛物线c bx x y ++-=2的对称轴为直线1-=x ，函数的最大值为4；（2）抛物线c bx x y ++=221经过A （2,0），B （0，－6）两点。