襄阳四中、五中自主招生考试
数学模拟试题三
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是（ ▲ ）
A ．9504元
B ．9600元
C ．9900元
D ．10000元
2．我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ▲ ）
A ．3步
B ．6步
C ．4步
D ．8步 3．下列四个命题中，其中为真命题的是（ ▲ ） A ．对任意，使 B ．对任意，使
C ．存在
，使
D ．存在
，使
4．无论m 为任何实数，二次函数22)y x m x m =+-+（的图像一定过的点是（ ▲ ）
A ．（1，3）
B ．（1，0）
C ．（1，3）
D ．（1，0） 5．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1， 则
tan ∠BAC 的值为（ ▲
）B A
． B ．1 C ．
D ．
6．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A(－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点
C ，且OB ＝OC ，下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝1
2；③ac ＝b －1；④a ＋b c
>0.
其中正确的个数有（ ▲ ）
A ．1个
B ．2个
C ． 3个
D ． 4个
7．在26x x k -+中，有一个因式为(2)x -，则k 值为（ ▲ ）
A ．3
B ．-3
C ．-8
D ．8
8．已知实数a 、b 、c 满足2340a b ++-=，2
44120c b c +--=，则a b c ++的值为（ ▲ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．9
9．用min{a ，b}表示a ，b 两数中的最小值, 若函数y=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线1
2
x =对称，则t 的值为（ ▲ ）
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
8.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把,10,6,3,1…这样的数称为“三角形数”，而把,16,9,4,1…这样的数称为
“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．
下列等式中，符合这一规律的是（ ▲ ）
A ．10313+=
B ．16925+=
C ．311849+=
D ．362864+= 10．在ΔABC 中,
,则∠A（ ▲ ）
A ．一定是锐角
B ．一定是直角
C ．一定是钝角
D ．非上述答案
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡相应的位置上. 11． 已知无理数
在两个相邻的整数之间，则这两个整数是______________ .
12．已知0xyz ≠，且20x y z ++=，5440x y z +-=，则222
2
2
610_______.345x y z x yz z
+-
=-+ 13． 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是__________.
14．一列数123,,,...,a a a 其中11
2
a =
，11n n a a =-（n 为不小于2的整数），则100a =__________ .
15．观察下列等式：211=；2132+=；21353++=；213574+++=；….则
1352015_________.++++=…
16．如图，正方形ABCD 的边长为2
，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，
DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是____________.
三、解答题：本大题共8小题，共70分. 解答题应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内 .
17．（本小题满分6分）已知实数a b ≠，且满足2
(1)33(1)a a +=-+，23(1)3(1)b b
+=-+
，求
的值.
18．（本小题满分6分）如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE=2EB ，连接DF ．若S △AEF =1，求A D F ∆的面积．
19．（本小题满分6分）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
（1）写出运动员甲测试成绩的众数为_____；运动员乙测试成绩的中位数为_____；运动员丙测试成绩的平均数为_____；
（2）经计算三人成绩的方差分别为2=0.8S 甲、2=0.4S 乙、2
=0.8S 丙，请综合分析，在他们三人中选择一
位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
20．（本小题满分10分）已知△ABC 的一条边BC 的长为5，另两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方程
x 2
－(2k ＋3)x ＋k 2
＋3k ＋2＝0的两个实数根．
(1) 求证：无论k
为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2) k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？
(3) k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长．
21．（本小题满分10分）某公司开展爱心扶贫活动，准备将购买的100吨救灾物资运往某贫困地区，现有甲、乙两种货车可以租用，已知2辆甲车和3辆乙车一次可运送44吨物资；3辆甲车和2辆乙车一次可运送38吨物资．
（1）求每辆甲车和每辆乙车一次分别能装运多少吨救灾物资？
（2）已知甲车每辆租金为
500元，乙车每辆租金400元，该公司共租12辆车．求租车的总费用W （元）与租用甲种车的数量M （辆）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若该公司的租车总费用不超过5300元，则公司有哪几种租车方案？并求出费用最少的租车方案．
22．（本小题满分10分）如图，已知AB 是半圆O 的直径， 8AB =， ,
,M N P 是将半圆圆周四等分的三个分点．
（1）从,,,,A B M N P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； （2）在半圆内任取一点S ，求SAB ∆的面积大于
23．（本小题满分10分）已知点A （a ，m ）在双曲线y=上且m ＜0，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ．
（1）如图1，当a=﹣2时，P （t ，
0）是
x 轴上的动点，将点B 绕点P 顺时针旋转90°至点C ， ①若t=1，直接写出点C 的坐标； ②若双曲线y=经过点C ，求t 的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x ＞0）沿y 轴折叠得到双曲线y=﹣（x ＜0），将线段OA 绕点O 旋转，点A 刚好落在双曲线y=﹣（x ＜0）上的点D （d ，n ）处，求m 和n 的数量关系．
24．（本小题满分12分）如图，△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF 绕点D 旋转，使∠EDF 的两边分别与线段AB 、AC 交于点E 、F ． （1）当DF⊥AC 时，求证：BE ＝CF ；
（2）在旋转过程中，BE+CF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）在旋转过程中，连接EF ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数解析式，并求S 的最小值．。