R
20 8 12 3
y
31= 54= 38= 53= 49= 42= 57= 62= 64=
yyyyyyyyy724359816
例 3.3 各列平方和的计算表
表头设计
ABC
试验号
列号 1 2 3 4
1
1111
2
1222
3
1333
4
2123
5
2231
6
2312
7
3132
8
3213
9
3321
T1
123 141 135 144
SSE＝SST－SSA－SSB－SSC
ST SA SB ... SE
fT f A fB ... fE
正交设计方差分析表
项目
因素A 因素B 因素C 误差（空白列） 总和
平方和SS
SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF
a－1 a－1 a－1 a－1 n－1
均方MS
SSA/ (a－1) SSB/ (a－1) SSC/ (a－1) SSE/ (a－1)
因子 A：反应温度（℃）
水平 一
二
三
80
85
90
B：反应时间（分）
90
120
150
C：加碱量（%）
5
6
7
试验号
试验计划与试验结果
因子
1 2 3 4 5 6 7 8 9
反应温度 反应时间 加碱量 试验结果 y
℃ （1）80 （1）80 （1）80 （2）85 （2）85 （2）85 （3）90 （3）90 （3）90
T2
144 165 171 153
T3
183 144 144 153
S
618 114 234 18
y
31 54 38 53 49 42 57 62 64
T=450
yi2 =23484
ST=984
方差分析表
把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。
例 3.3 的方差分析表
表头设计
ABC
试验号
列号 1 2 3 4
1
1111
2
1222
3
1333
4
2123
5
2231
6
2312
7
3132
8
3213
9
3321
T1 T2 T3
123 141 135 144 144 165 171 153 183 144 144 153
T1 T2 T3
41 47 45 48 48 55 57 51 61 48 48 51
总和
平方和SS
SSA SSB SSC SSE
SST
自由度DF
a－1 a－1 a－1 a－1
n－1
纯平方和
SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE
fT×MSE
SST
贡献率
ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE
贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值
贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
项目
因素A 因素B 因素C 误差
总和
点估计
•一般平均 的最小二乘估计是： ˆ y 。
•Ai 的主效应 ai 的最小二乘估计为： aˆi T1i y ， 其中T1i 表示 Ai 水平下数据的均值。
•其它主效应的估计可类似得到。其均为相应参数的无偏估计。 •在例 3.3 中：
ˆ y 50 ， aˆ3 T13 y 61 50 11 ，
cˆ2 T32 y 57 50 7 ，
•A3C2 水平组合下指标均值的无偏估计可以取为：
ˆ 32 ˆ aˆ3 cˆ2 50+11+7=68。
贡献率分析
当试验指标不服从正态分布时， 进行方差分析的依据就不充分，此 时可以通过比较个因素的“贡献率” 衡量因素作用的大小。
项目
因素A 因素B 因素C 误差
n:正交表的行数（试验次数）
y ：n个试验指标的平均值
其自由度 fT n 1
各因素的离差平方和：
a
SSA
n (y y) i i
2
其自由度 fA ni 1
i 1
a ：A因素的水平数，3
ni：第i水平下的试验次数
yi ：A因素每一水平下的指标平均值
误差平方和SSE：
方法一：将空出列按一因素计算，得出值为SSE； 方法二：用公式
F值
MSA/MSE MSB/MSE MSC/MSE
例3.3：某化工厂希望寻找提高产品转化率的生产工艺条件。经 分析影响转化率的可能因子有三个：
A：反应温度 B：反应时间 C：加碱量 根据各因子的可能取值范围，经专业人员分析研究，决定 在本试验中采用如下水平，见下表。——《试验设计DOE》峁诗松著
因子水平表
在显著性水平 0.05 与 0.10 上是显著的，因子 B 不显著。
对显著因子应该选择其最好的水平，因为其水平变化会 造成指标的显著不同，而对不显著因子可以任意选择水平， 实际中常可根据降低成本、操作方便等来考虑其水平的选 择。
在例 3.3 中因子 A 与 C 是显著的，所以要选择其最好 的水平，按前所述，应取 A3C2，对因子 B 可以选任意水平， 譬如为了节约时间可选 B1。
Hubei Automotive Industries Institute
试验优化设计
主讲：刘建永
材料工程系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
n
SST (y y)2 i i 1
综上，我们在直观分析中从 9 个结果看到的最好水平组 合是 A3B2C2，而通过方差分析可以得到各因子最佳水平组 合是 A3 B C2，因子 B 可以选任意水平，它是从 27 个可能 结果中选出的，两者并不完全相同。
最佳水平组合均值的估计
下面求在最佳水平组合 A3C2 下的指标均值 32 的估计。
来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS
F比
因子 A 618 因子 B 114 因子
2
117
2
9
34.33 6.33 13.00
T
984
8
F0.90(2,2)=9.0,
F0.95(2,2)=19.0
因 FC>F0.90(2,2)=9.0，FA>F0.95(2,2)=19.0，故因子 A 与 C 分别
分
%
（1） 90 （1）5 （2）120 （2）6 （3）150 （3）7 （1） 90 （2）6 （2）120 （3）7 （3）150 （1）5 （1） 90 （3）7 （2）120 （1）5 （3）150 （2）6
转化率(%)
31 54 38 53 49 42 57 62 64
例 3.3 直观分析计算表