习题5已知2,2,2,x y z v y z v z x v x y =+=+=+求：(1)涡量及涡线方程；（2）在z=0平面的面积dS=上的涡通量。

解：（1）()()()(21)(21)(21)y y x x z z i j ky z z x x y i j k i j k∂∂∂∂∂∂Ω=-+-+-∂∂∂∂∂∂=-+-+-=++νννννν 所以 流线方程为 y=x+c1,z=y+c2(2) 2J 2*0.5*0.00010.0001/wnds m s ===⎰设在（1，0）点上有0Γ=Γ的旋涡，在（-1，0）点上有0Γ=-Γ的旋涡，求下列路线的速度环流。

2222(1)4;(2)(1)1;(3)2,20.5,0.5x y x y x y x y +=-+==±=±=±=±的方框。

（4）的方框。

解：（1）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以c20svdl wnds ==⎰⎰（4）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以c0vdl -=⎰如题图所示，初始在（0，1）、（-1，0）、（0，1）和（0，-1）四点上有环量Γ等于常值的点涡，求其运动轨迹。

解：取其中一点（-1，0）作为研究对象。

42222cos 45cos 4534CA BA BA A CA BA BA v v v v v v v τπππτπ====++=由于四个涡相对位置将不会改变，转动角速度为：3434v w ar v wt tτπτπ====用极坐标表示为r=1, 34t τθπ=同理，其他点的轨迹与之相同。

如题图所示有一形涡，强度为，两平行线段延伸至无穷远，求x 轴上各点的诱导速度。

解：令（0，a ）点为A 点，（）为B 点 在OA 段与OB 段1222222212(cos90)4(cos 0)42()()2x v x a xv xa a x v v v x a x xaτπτπτπ=++=++∴=+=++习题六平面不可压缩流动的速度场为 （1）,;x y v y v x ==- (2) ,;x y v x y v x y =-=+ (3) 22,2;x y v x y v xy y =-=--判断以上流场是否满足速度势和流函数存在条件，进而求出。

解：V 0(v )v y x x yφϕ∇⨯=∂-∂=∂∂存在存在（1）φ存在v (v )2y x x xyφ∂∂-=-∴∂∂(v )v 0......0y xv x yφ∂-∂==∴∂∂ 22v v 2y x x y dx dy ϕ+=-+=⎰+c（2）v (v )2(v )v ()1....1yx y xx y x y x y yφϕ∂∂-=∴∃∂∂∂-∂∂--===-∴∃∂∂∂（3）v (v )0y x xyφ∂∂-=∴∃∂∂3222v v x y dx dy x φ=+=⎰/3+x /2-xy -y /2+c（4）(v )v 2 1....21y xx x x y∂-∂=+=+∂∂ ϕ∴∃32-v v y x dx dy y x ϕ=+=-⎰/3+x y +y +c证明函数f=xyzt 是速度势函数，而且流场不随时间变化。

证：f=xyzt21)02)()0dx dy dz dx dy dz f yzt xzt yxt yz xz yxφφ∇=∇∇=∴==⇒==∴是速度势函数流线方程流场不随时间变化有一种二维不可压缩无旋流动，已知v x kxy =，k 为常数，求v y 。

解：2222v (v )0v v (v )v 0v v v ()y x y y y x y y y xykx kx cyxx yky ky cxyk x y c∂∂∴-=∂∂∂∴=∴=+∂∂∂∴+=∂∂∂∴=-∴=+∂∴=-+无旋不可压已知速度势，求复势和流函数： （1）22xUx x y Φ=++； （2）22yUx x y Φ=++；（3）2222()ln ()x a y x a y -+Φ=++；解：22222222222222221)1/()()2)?i /()()()3)ln ln Re ()m m w i xUx x y w Uz z z yi yi U iy I Uyi Uy z z x y x y yUx x y w Uz ziz xi xi U iy I Uyi Uy z z x y x y x a y x a y ϕφϕϕϕϕϕ∃=+Φ=++∴=+-=+=+⇒=-++Φ=++∴=+=+=+⇒=+++-+Φ==++按题意，应有为均匀流动，叠加一偶极子为均匀流动，叠加一偶极子旋转902222()ln Re()2lnln ()ln ()lnm m z a z a z aw z ax aI z a I z a x aϕ--+-∴=+-=--+=+分析如下流动是由那些基本流动组成： 解：（1）匀直流 点涡 偶极子 （2） 点源 点汇 两点涡 （3）两源一汇幂函数W ,n ,nAz A πππππ=式中为实常数，=/a,/2,0<a</2/2<a<时，试分析该函数所代表的平面无旋运动。

解：匀直流 流动方向改表 设复势为22W(z)=(1+i)ln(z 1)(23)ln(4)1/i z z ++-++ 求（1）沿圆周22x y +=9的速度环量Γ；（2）通过该园的体积流量解：22W(z)=(1+i)ln(z 1)(23)ln(4)1/i z z ++-++点涡 2i[ln(z )ln(z )]3[ln(2)ln(2)]i i i z i z i ++-+++- 在22x y +《9内226i[ln(z )ln(z )][ln(2)ln(2)]22i i i z i z i ππππ++-+++- 8π∴Γ=点源 224[ln(z )ln(z )][ln(2)ln(2)]22i i z i z i ππππ++-+++-121/Q z π=是偶极子无涡无源直径为2m 的圆柱在水下10m 深处以速度10m/s 做水平运动（见题图），水面大气压20101325/p N m =，水密度31000/kg m ρ=，不考虑波浪影响，试计算A 、B 、C 、D 四点压力。

解：22222220.5(14sin )A,0.5(14sin )249.4/B D 0.5(14sin )39.6/0.5(14sin )59.2/A C B D p p v g hC p v g h kN m v g h kN m p v g h kN m ρθρρθρρθρρθρ∞∞∞∞∞-=-+∆=-+∆==-+∆==-+∆=、对于点对于，点p在题中，圆柱在做水平运动的同时以60r/min 的角速度绕自身轴旋转，试决定驻点的位置，并计算B,D 的速度和压力。

解：222 6.2826.282sin 0.3144arcsin(0.314)198.3341.70.5[1(2sin )2105/0.5[1(2sin )2165/21/19/B D B D wds v aor p p v g h v akN m p p v g h v akN m v m s v m sππθπθρθρπρθρπ∞∞∞∞∞∞∞Γ==⨯⨯=-=-=-=Γ=+-++∆=-Γ=+-++∆==-=⎰已知流函数225628100(1)ln ,25r y r r ψπ=-+= 试求：（1）组成此流动的基本流动；（2）驻点的位置；（3）绕物体的速度环量；（4）无限远处的速度；（5）作用在物体上的力。

解：（1）22236.3.725100(1)sin 25100(1)cos 252526285100(1)sin 100sin 2..r r r r v y r rv y r v y r r r rv v w i θθθθθθθπφ∂ψ==-∂=-⨯=-++ψ→→=+ψ公式（2）驻点 sin 0.1 5.74185.744or v aθθπ∞Γ=-=-∴=-（5）76.2810L v ρ∞=Γ=⨯直径为的圆柱以6m/s 的速度在静水内作水平直线运动，同时绕自身轴旋转，每米长度上的升力是，试计算他的升力系数和转数。

解：2C 0.540.50.9816.5/min 2L Lv sL v w r sρρ∞∞===Γ⇒Γ=Γ==如题图所示，在（-2，1）点有一强度为Q 的点源，求第二象限直角流场中的复势。

解：00100120022220000ln()2[ln()ln(())]2x [ln()ln(())]2[ln()ln(())]ln()()22w z z Y w z z z z w z z z z z z z z z z z z θπθπθπθθππ=-⇒=-+--=-+--++++-=--源轴对称对轴对称w求题图所示点涡的轨迹，已知通过（2，2）点。

解:0222422222284AC AD AB AC AD AB w w v v v v v v x y ππππ⇒Γ===Γ++=∴+=点涡：在深水处有一水平放置的圆柱体，半径为,每米长的重量为G=196N,如果垂直向下对每米长度圆柱作用力是F=392N,求圆柱的运动方程。

解：20020()5.47 2.73Gm kg gF G F m a a h h v t t λ==+-=+∴==++浮如题图所示，半径为R 的二维圆柱体在无界流中绕O 轴旋转，角速度为，同时又以角速度自转，假设缆绳长l>>R,圆柱体重为G,l 流体密度为，求缆绳所受的张力。

解：222222F =R /)2F 2R /)G g l L v R w l F LF R w lG g lρπρπρπρρπ∞+Ω=Γ=Ω∴=-=Ω++Ω向向向心力（升力（习题八证明()cos(())W A k id ct ζζ=+-是水深为d 的水域中行波的复势，其中x iz ζ=+，z 轴垂直向上，原点在静水面，并证明2()gc th kd k=证：将x iz ζ=+代入原式()cos(())W A k id ct ζζ=+-=cos(())A k x iz id ct ++- cos(())A k x ct φ∴=-所以φ是行波的速度势22()kgthkdgc th kd kσ=∴= d=10m 的等深度水域中有一沿x 轴正向传播的平面小振幅波，波长L=10m,波幅A=,试求：（1）波速、波数、周期； （2）波面方程；（3）平衡位置在水面以下流体质点的运动轨迹。

解：0010.628*0.500.628*0.50/13.95/2/0.628/ 2.531cos()0.1cos(0.628 2.48)sin()0.1cos(/2)sin()0.1sin(/2)kz kz d L c m s k L m T c sA kx t x t x x Ae kx t e z z Ae kx t e πλξσσπθσπθ-=∴=======-=--=--=+-=-=+观测到浮标每分钟升降10次，假定波动是无限深水域中的小振幅平面波，试求波长和波的传播速度。