两角差的余弦公式教学目标1．掌握两角差的余弦公式．(重点)2．会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(难点)3．两角差的余弦和两角余弦的差．(易混点)[基础·初探]教材整理两角差的余弦公式阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题．cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β．(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．()(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.()解：(1)×.cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.(2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)√.结论为两角差的余弦公式．(4)√.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0.答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√[小组合作型]利用两角差的余弦公式化简求值(1)cos 345°的值等于( )A ．2－64B ．6－24C ．2＋64D ．－2＋64(2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A ．12B ．32C ． 3D ． 2(3)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．(2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．(3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公式的逆用． 解：(1)cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝6＋24.(2)原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2cos 30°·cos 20°＋2sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70° ＝3cos 20°sin 70°＝3sin 70°sin 70°＝ 3.(3)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝22，所以原式＝22；②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.答案：(1)C (2)C (3)①22 ②321．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．[再练一题]1．求下列各式的值：(1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)．解：(1)cos 13π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－π6 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80°＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]＝cos(－60°)＝12.已知三角函数值求角已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5143，求β.本题是已知三角函数值求角的问题．解答此类问题一般先确定所求角的某一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小．解：∵α为锐角，且cos α＝17， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)． 又sin(α＋β)＝5143<sin α，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β） ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫51432＝－1114. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又β为锐角，∴β＝π3.1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．[再练一题]2．已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．解：∵α、β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22.又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.[探究共研型]利用角的变换求三角函数值探究1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？【提示】 cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β.探究2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？【提示】 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)．探究3 若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？【提示】 cos(α－β)＝2－a 2－b 22. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( ) A ．33B ．－33C ．539D ．－69把α＋β2看成α与β2之和，从已知条件中求出α与β2的正、余弦的值，然后运用和角的余弦公式，思路很流畅但运算量繁杂且大．求解此类问题的关键是：先从题设的条件与结论中寻找角的变形的目标，再利用同角三角函数的基本关系式求出正弦值、余弦值，最后利用和(差)角的余弦公式解题．解：∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2，又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C ．答案：C巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角．主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察．常见的“变角”有：①单角变为和差角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和差角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等．[再练一题]3．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值． 解：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝1－49＝53.∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.[构建·体系]1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( )A ．cos 100°B ．sin 100°C ．32 D ．12解：原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32.答案：C2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝( )A ．22 B ．12C ．32D ．－12 解：a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°·sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.答案：A3．已知锐角α、β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( ) A.3365 B.－3365 C.5475 D.－5475解：因为α、β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45 ＝3365.故选A ．答案：A4．sin 75°＝________.解：sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋245．α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π. 又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2， 所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， 所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.学业分层测评[学业达标]一、选择题1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A ．12 B ．13 C ．32D ．33解：原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12. 答案：A2．已知sin α＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( ) A ．－3－222B ．3－226C ．3＋226D ．－3＋226解：因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－223，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝⎝⎛⎭⎪⎫－223×12＋13×32＝－22＋36. 答案：B3．(2016·梅州高一检测)若12sin x ＋32cos x ＝cos(x ＋φ)，则φ的一个可能值是( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解：对比公式特征知，cos φ＝32，sin φ＝－12，故只有－π6合适． 答案：A4．sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A ．－25 B ．－210 C ．－7210D ．－725解：因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2 α＝－1－925＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α，＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35＝－210.答案：B5．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1解：因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝1或者⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝－1，解得⎩⎨⎧cos α＝0，cos β＝0，于是cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.答案：B二、填空题6．(2016·济南高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________．解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α＝18，所以cos α＋3sin α＝14. 答案：147．在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－1213，则cos(A －B )＝________. 解：因为cos B ＝－1213，且0<B <π， 所以π2<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513，且0<A <π2， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 所以cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ， ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.答案：－1665 三、解答题8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－12.证明：由sin α＋sin β＋sin γ＝0， cos α＋cos β＋cos γ＝0得 (sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，① (cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， 即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.9．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．解：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，tan α＝4 3，∴sin α＝4 3cos α，① sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝4 37，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5 314. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5 314×4 37＝12. ∴cos β＝12.[能力提升]1．若α，β为两个锐角，则( ) A ．cos(α＋β)>cos α＋cos β B ．cos(α＋β)<cos α＋cos β C ．cos(α－β)<cos αcos β D ．cos(α－β)<sin αsin β解：cos ⎣⎡⎦⎤α－（－β）－(cos α＋cos β)＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β ＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β， 因为α，β是锐角，所以cos β－1<0，cos α(cos β－1)<0， －sin αsin β<0，－cos β<0， 故cos [α－(－β)]－(cos α＋cos β)<0， 即cos(α＋β)<cos α＋cos β.因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， α，β均为锐角，所以cos αcos β>0，sin αsin β>0，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β，同理cos(α－β)>sin αsin β，故C 、D 错误．答案：B2．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．解：∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35.∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45.∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×⎝⎛⎭⎪⎫－45＋⎝⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1.∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，2β＝π，∴β＝π2.。