2020年高考数学预测卷及答案（理科）学校： 考点： 考号： 姓名：本试题卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合A B ＝（ ）A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅2．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d ，公式为3169d V =．如果球的半径为13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ） A ．481π B ．6π C ．481D ．61 4．已知函数()()π17πsin cos 0326f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则满足题意的ω的最小值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．25．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该三棱锥的表面积为（ ） A ．2aB ．23aC ．236a D ．223a6．某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ ）A ．328B ．128C ．37D ．13287．如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝π2，2AB =，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则CE BD ⋅=（ ）A ．－2B ．12-C ．0D 28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝16，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9和9T 为（ ）A ．80B ．20C ．180D ．1669．2015年12月16日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ ）A ．96种B ．100种C ．124种D ．150种10．已知函数cos y x x =+，有以下命题： ①()f x 的定义域是()2π,2π2πk k +； ②()f x 的值域是R ； ③()f x 是奇函数；④()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2， 其中推断正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ． 311．已知椭圆的标准方程为22154x y +=，12,F F 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则12PF PF PO -的取值范围（ ）A ．50,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．250,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．350,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．650,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为面MBN 过三点B 、E 、F 的截面与正方体1111ABCD A B C D -在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ） A ．HF //BE B ．132BM =C ．∠MBN 的余弦值为6565D ．五边形FBEGH 的面积为2361144第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．为了确定学生的答卷时间，需要确定回答每道题所用的时间，为此进行了5次实验，根据收集到的数据，如表所示：题数x （道）23456所需要时间y （分钟） 3 6 7 8 11由最小二乘法求得回归方程 1.8y x a =+，则a 的值为_________．（参考公式：()()()127niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-）14．若2(3)(1)nx x+-的展开式中常数项为43，则22n xdx =⎰ ．15．执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为10332-，则判断框中应填入的条件是__________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1213n n n S a =-+-，32nn n c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的通项公式________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222cos cos sin sin sin B C A A B --=-，()()sin cos A B A B -=+．（1）求角A 、B 、C ； （2）若2a =ABC 的边长b 的值及三角形ABC 的面积．18．（本小题满分12分）2017年3月29日，中国自主研制系全球最大水陆两栖飞机AG600将于2017年5月计划首飞．AG600飞机的用途很多，最主要的是森林灭火、水上救援、物资运输、海洋探测．根据灾情监测情报部门监测得知某个时间段全国有10起灾情，其中森林灭火2起，水上救援3起，物资运输5起．现从10起灾情中任意选取3起，（1）求三种类型灾情中各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的森林灭火的数目，求X 的分布列与数学期望．19．（本小题满分12分）如图所示，直棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，1113AA AB B D ===，2BC =，E 是边11B C 的中点，F 是边1CC 上的动点．（1）求证：1D E BF ⊥； （2）当1C F BC =时，（Ⅰ）求证：BF ⊥平面1D EF ．（Ⅱ）求面1D BF 与底面1111A B C D 所成的二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0-，且椭圆C 与直线632y x =+相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点()0,1P 的动直线与椭圆C 交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得7OA OB PA PB λ⋅+⋅=-？请说明理由．21．（本小题满分12分）设函数ln 1xy x =+， （1）求证：()211f x x -+≤； （2）当x ≥1时，()ln (1)f x x a x --≥恒成立，求a 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的极坐标方程为3cos sin 60ρθρθ+-=，圆C 的参数方程为5cos 15sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（1）求直线被圆所截得的弦长；（2）已知点()0,2P -，过P 的直线'l 与圆所相交于A B 、不同的两点，求PA PB ⋅．23．（本小题满分10分）已知点(),P a b 在圆C ：22x y x y +=+()(),0,x y ∈+∞上，（1）求11a b+的最小值； （2）是否存在a ，b ，满足()()114a b ++=？如果存在，请说明理由．参考答案第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【答案】C【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝(){}1,2．故选C ．2．【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a b b a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限上．故选D 3．【答案】D【解析】根据公式3169d V =得，321639V =，解得16V =．故选D ． 4．【答案】C 【解析】根据题意可得，()π17ππ1πsin cos sin sin 326323f x x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3πsin 23x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3ππ3sin 2634ω⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2636k ωπππ⎛⎫-+=+π ⎪⎝⎭或52,6k k π+π∈Z ，解得121k ω=-+或123k -+，又0ω>，显然min 1ω=．故选C ．5．【答案】D 【解析】如图所示，该几何体是正方体的内接正三棱锥，所以三棱锥的棱长为2a ，因此此几何体的表面积()22142sin 60232S a a =⨯⨯︒=．故选D ．6．【答案】D【解析】根据题意可得1126222288C C C 13C C 28P =+=．故选D ． 7．【答案】A【解析】以B 为原点，BC 为x 轴，AB 为y 轴建系如图，∵2AB =，BC ＝2，∴()0,2A ，()0,0B ，()2,0C ，D 的纵坐标为2，∵点E 为AB 的中点，∴20,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，设向量CD 与向量BC 的夹角为θ，所以1cos 2CD θ=-，过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，在Rt △DFC 中，()cos πFC CD -θ=，所以12CF =，所以322D ⎛ ⎝，所以22,2CE ⎛=- ⎝⎭，322BD ⎛= ⎝，所以312CE BD ⋅=-+=-． 8．【答案】C ．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1n n n b a a +=+，所以112n n n b a a +++=+，两式相减1n n b b +-=1212n n n n a a a a d ++++--=为常数，所以数列{}n b 也为等差数列．因为{}n a 为等差数列，且S 2＝4，S 4＝16，所以11224b a a S =+==，3344212b a a S S =+=-=，所以等差数列{}n b 的公差31242b b d -==，所以前n 项和公式为()1442n n n T n -=+⨯ 222n n =+，所以9180T =．故选C ． 9．【答案】D【解析】∵三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，一种是按照1、1、3，另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有11335431322C C C A 60A N ==，当按照1、2、2来分时共有22135312322C C C A 90A N ==，根据分类计数原理知共有，故12150N N N =+=，选D ． 10．【答案】C【解析】根据题意可以得到函数的定义域为R ，值域为R ，所以①不正确，②正确；由于()cos f x x x =+，所以()cos f x x x -=-+，所以()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，所以③不正确；当π2x =时，cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2；所以④正确．故选C ． 11．【答案】B【解析】设P ()00,x y ，则005x <<，1555e ==，10555PF x =+，2PF =0555x -，222000145PO x y x =+=+，则0122020252555114455x PF PF PO x x -==++，因为005x <<，所以20445x >，所以201415x +>，所以202525505145x <<+，所以122505PF PF PO -<<．故选B ． 12．【答案】C【解析】因为面11//AD BC 面，且面1AD 与面MBN 的交线为FH ，1BC 面与面MBN 的交线为BE ，所以HF //BE ，A 正确；因为11//A F BB ，且1:1:2A F FA =，所以111:1:2MA A B =，所以112MA =，所以132B M =，在Rt △1BB M 中，2211BM BB B M =+132=，所以B 正确；在Rt △1BB N 中，E 为棱1CC 的中点，所以1C 为棱1NB 上的中点，所以11C N =，在Rt △1C EN 中， 221152EN C E C N =+=，所以5BN =；因为221152MN MB NB =+=，在△BMN 中，222cos 2BM BN MN MBN BM BN +-∠==⋅26565，所以C 错误；因为265cos 65MBN ∠=，所以61sin 65MBN ∠=，所以BMN S =△12BM ⨯61sin 4BN MBN ⨯⨯∠=，根据题意可得，14GEN BMN S S =△△，19MFH BMN S S =△△，所以BEGHF S =面2361144BMN GEN MFH S S S --=△△△．故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。