第一章《解三角形》（满分150分，时间：120分钟）一、单选题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1．在△ABC 中,已知2,45a b B ===o ，则角A =（ ）A ．30°或150°B ．60°或120°C ．60°D ．30°2．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝3π，b ＝2acos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A B C D 3．在ABC V 中，已知5cos 13A =，3cos 5B =，4c =，则a =（ ） A ．12B ．15C ．207D ．3074．在ABC ∆中，若222cos cos 2sin A B C +>-，则ABC ∆的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．无法判断5．在ABC V 中，sin B A =，a =4C π=，则c =（ ）A B ．3C ．D ．6．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 （ ） A ．8,16,30a b A ===o ,有两解 B ．18,20,60b c B ===o ,有一解 C ．5,2,90a c A ===o ,无解D ．30,25,150a b A o ===,有一解7．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆，且2cos 2b A a c +=，6a c +=则其周长为（ ）A ．10B ．9C ．12D ．8．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 3:5:7A B C =，且该三角形的面积为则ABC ∆的最小边长等于( ) A ．3B ．6C ．9D ．129．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A △B △C ＝1△2△3，则a △b △c 等于( )A ．1△2△3B ．2△3△4C ．3△4△5D ．△210．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．6B ．C ．海里 D ．11．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b =c =tan()24A π+=，则a =（ ）A ．15B．C ．3D．12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若1bc =，2cos 0b c A +=，则当角B 取得最大值时，的周长为（ ） A．2+B．2+C ．3D．3二、填空题（每小题5分，共20分）13．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.14．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23A π=，8a =，ABC V 的面积为b c +的值为_________.15．锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若220a b ac -+=，则sin sin AB的取值范围是______. 16．如图，已知圆内接四边形ABCD ，其中6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，则22sin sin A B+=__________．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设ABC V 的内角A B C ，，所对边的长分别是a b c ，，，且3b =，1c =，2A B =.（1）求a 的值；（2）求ABC V 的面积.18．（12分）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 3B =-，sin sin 2sin b B a A c C -=.（1）求sin 23B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）求ac的值.19．（12分）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（△）求边AC 的长；（△）若APB ∆的面积是sin BAP ∠的值．20．（12分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD △AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．21．（12分）设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（△）求角A 的大小；（△）若4a =，BC 边上的中线22AM =，求ABC ∆的面积．22．（12分）如图，某观测站C 在城A 的南偏西20︒方向上，从城A 出发有一条公路，走向是南偏东40︒，在C 处测得距离C 处31千米的公路上的B 处有一辆车正沿着公路向城A 驶去，行驶了20千米后到达D 处，测得C 、D 二处间距离为21千米，这时此车距城A 多少千米？参考答案1．D 2．B 3．D 4．A5．A6．D7．B8．D9．D10．A11．C12．A 13．23π 14． 15．2⎫⎪⎪⎝⎭16．3 17． 解：（1）由余弦定理以及二倍角的正弦公式得2222sin c s sin 2o AB B a c b ac +-==， 所以由正弦定理可得22222a c b a b ac+-=⋅. 因为3b =，1c -，所以212a =，即a =（2）由余弦定理22291121cos 263b c a A bc +-+-===-.因为0A α<<，所以sin 3A ===. 故ABC V的面积113122sin 3A S bc ==⨯⨯⨯= 18．解：（1）在ABC V 中，因为1cos 3B =-，所以sin 3B =，所以sin 22sin cos 9B B B ==-27cos 22cos 19B B =-=-，所以117sin(2)sin 22(()3229B B B π+=+=⨯+-=； （2）因为sin sin 2sin b B a A c C -=， 由正弦定理可得2222b a c -=，由余弦定理可得，222222212cos 3222a c b a c a c cB ac ac a+-+--=-===-，所以32a c =． 19．解：（△）在APC ∆中，设AC x =，则4AP x =-由余弦定理得：2222cos PC AC AP AC AP PAC =+-∠g即：224(4)2(4)2x x x x =+--⨯⨯-⨯，解之得：122x x == 即边AC 的长为2（△）由（△）得APC ∆为等边三角形，作AD BC ⊥于D，则sin 60AD PA =︒=△12APB S PB AD ∆=⨯=PB =，故4PB = ，23BPA π∠=， △在ABP ∆中，由余弦定理得：AB ==△在ABP ∆中由正弦定理得：sin sin PB AB BAP BPA =∠∠ ，△4sin BAP =∠，△sin 7BAP ∠== 20．解：（1）证明：因为12BD AD c -=， 所以1cos cos 2a Bb Ac -=， 由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=， 所以()sin 2sin C A B =-．（2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-， 所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， 所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． 21．（解：（△）因为()acos 2cos B c b A =-， 由正弦定理得()sin cos cos 2sin sin A B A C B =-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，所以()sin 2sinccos A B A +=，因为()sin sin 0A B C +=≠，所以cos 2A =， 又因为(0,)A π∈，所以3A π=． （△）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2232c b bc ++=，△又根据余弦定理，有2222222cos 416a b c bc A b c bc =+-=+-==，△ 联立△△，得8bc =． 所以ABC ∆的面积1S bcsinA 232==． 22解：在BCD V 中，21CD =，20BD =，31BC =，由余弦定理得：2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，所以243sin 1cos BDC BDC ∠=-∠=． 在ACD V 中，21CD =，204060CAD ∠=︒+︒=︒，53sin sin(60)sin cos 60cos sin 6014ACD BDC BDC BDC ∠=∠-︒=∠⋅︒-∠⋅︒=． 由正弦定理得5321sin 1415sin 3CD ACDAD CAD⋅⋅∠===∠（千米）． 所以此车距城A 有15千米．。