lim
n
[1a＋(ba)n]＝1a.
∴a＞1a⇒a＋1aa－1＞0⇒－1＜a＜0或a＞1.
[答案] (1)1 (2)D
1.函数f(x)在点x＝x0处的极限为双侧极限，而在点x＝x0
处
的左极限和右极限都是单侧极限，双侧极限应理解为x， 即可以从x0的左边无限趋近于x0，也可以从x0的右边无
限
趋近于x0，也可以从x0的两侧交错地无限趋近于x0，只
数列的极限是数列中的一种常见运算，但近年来高考对 数列的极限的考查力度逐年降低，基本都是以选择题与填空题的 形式出现.函数的极限与连续性是极限的重点内容，但考试难度不 大，基本也是以选择题与填空题的形式出现.数学归纳法是证明数 列问题的一种重要方法，与数列的极限一样，近年来考查热度也 有所下降，但数学归纳法体现了归纳—猜想—证明这一重要的数 学思想方法，需要引起我们注意.对于这部分内容，在复习备考中， 数列的极限、函数的极限与连续性应以关注小题为主，数学归纳 法应以掌握其证明步骤、推理方法和培养归纳—猜想—证明思想 为主.
1．(2010·四川高考)下列四个图象所表示的函数，在点
x＝0处连续的是
()
解析：由函数连续的图象特征易知选D. 答案： D
2．(2010·重庆高考)
lim
x 2
(x2－4 4－x－1 2)＝
()
A．－1
B．－14
C.14
D．1
解析：
lim
x 2
(x2－4 4－x－1 2)＝
lim
x2
4－x＋2 x－2x＋2
(1)函数f(x)在x＝x0处有定义；
(2)函数f(x)在x＝x0处有 极限值 ；
(3)
lim
x x0
f(x)＝f(x0)，即极限值等于这一点的
函数值
．
4．若函数f(x)在x0处连续，则
lim
x x0
f(x)＝f(x0)．(代入法求极限的
依据)
求数列极限的一些常用方法
(1)分子、分母同时除以n的幂；
b＝3，所以
lim
x
3bbxx－＋aaxx＝
lim
x
33x＋x－1＋22x x＝
lim
x
31＋－2323xx＝3.
[答案]
2 (1)3
(2)D
(2)中条件变为
lim
x1
ax2＋x－bx1＋1＝3，试求
lim
x
3bbxx－＋aaxx的值．
a，b
为常数，则
lim
n
an－bn an＋bn
的值为________．
(2)已知
a，b∈R，|a|＞|b|，又
lim
n
an＋1＋bn an
＞
lim
n
an－a1＋n bn，则 a 的取值范围是(
)
A．a＞1
B．－1＜a＜1
C．a＜－1 或 a＞1
D．－1＜a＜0 或 a＞1
[思路点拨] (1)先求数列{an}的前n项和，再确定a， b的值，(2)对每个式子求极限，再求a的范围．
[自主解答] (1)∵an＝4n－52，
∴a1＝32，
而数列{an}显然是等差数列，
∴Sn＝n32＋24n－52＝2n2－n2，
∴a＝2，b＝－12，∴
lim
n
22nn－＋－－1212nn＝1.
(2)∵|a|＞|b|，则
lim
n
an＋a1＋n bn＝
lim
n
[a＋(ba)n]＝a，
lim
n
an－a1＋n bn＝
＝
lim
x 2
x－＋12＝－14.
答案：B
3．(2010·四川高考)已知数列{an}的首项a1≠0，其前n项
和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋a1，则
lim
n
Sann＝
()
A．0
1 B.2
C．1
D．2
解析：由Sn＝2Sn－1＋a1得Sn＋a1＝2(Sn－1＋a1)， {Sn＋a1}为等比数列，Sn＋a1＝2a1·2n－1＝a1·2n，
Sn＝(2n－1)a1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1·a1，
当n＝1时，上式也成立，
因此an＝2n－1·a1，
1
lim
n
Sann＝
lim
n
22nn－－11·a1a1＝
lim
n
1－2 21n＝12.
答案：B
一、数学归纳法 数学归纳法是用来证明一些与正整数有关的
数学命题，其证明步骤可记为“两步一结论”，即第一
步验证初始值命题成立；第二步假设当n＝k时命题成立， 证当n＝k＋1时，命题也成立，“一结论”是指第一、
二步完成之后的总结论．其中第一步是递推的基础，第 二步是递推的依据，两步缺一不可，在论证第二步时必 须用上“假设”，否则证明过程从理论上讲是错误的．
二、极限
1．数列的极限
(1)基本极限公式
①
lim
x0
lim(1 cos
x0
x
1
cos2
x)
＝1＋1＋1＋1 1＝23.
x＋bx≥1 (2)由于函数 f(x)＝x2＋x－ax1－3x＜1
在 x＝1 处连续，
故
lim
x1
f(x)＝
lim
x1
f(x)＝f(1)，所以
x2＋ax－3
必含有因式(x－1)，
即 x＝1 必为方程 x2＋ax－3＝0 的根，所以 a＝2，则可得
n
n1＝
0
；
②
lim
n
qn＝
0(|q|＜1)；
③
lim
nHale Waihona Puke C＝0(C为常数)；
④
lim
n
qn存在⇔
0＜q＜1
.
(2)数列极限的四则运算．
2．函数的极限
(1)x→∞时，f(x)的极限，则
lim
x
f(x)；
(2)x→x0时，f(x)的极限，即
lim
x
f(x)；
(3)函数极限的四则运算．
3．函数连续性
函数f(x)在点x＝x0处连续，必须具备三个条件，缺一不可．
(2)利用有理化因子变形；
(3)求和式极限时，一般先求和，再求极限；
(4)利用一些已知极限(如
lim
x
qn＝0(|q|＜1)；
(5)求含参数的式子的极限时，注意对参数的值进行分类讨论，
分别确定极限是否存在，若存在求出值．
[例 1] (1)在数列{an}中，an＝4n－52，a1＋a2＋…＋an
＝an2＋bn，n∈N*，其中
要
x→x0就有f(x)→a.
2．对于函数的连续性问题，一般则是根据定义：函数在某
[例 2]
(1)求极限
lim
x0
1－sinco2xs3x＝________.
x＋bx≥1 (2)函数 f(x)＝x2＋x－ax1－3x＜1 在 x＝1 处连续，
则
lim
x
3bbxx－＋aaxx的值为
A．0
C．2
B．1 D．3
()
[思路点拨] (1)把sin2x表示为1－cos2x，运算求极限； (2)利用连续求a，b的值，再求极限．
[自主解答]
(1)
lim
x0
sin2x 1－cos3x
＝
lim
x0
1－cos2x 1－cosx1＋cosx＋cos2x
lim(1 cos x)
＝
lim
x0
1＋c1o＋sxc＋oscxos2x＝