第二数学归纳法举例

有两堆棋子，数目相同，两人玩耍， 规则是：两人轮流取子，每人可以 在一堆中任意取子，但不能同时在 两堆取，取得最后一颗的人获胜， 求证后取者一定胜利.
跳步归纳法
设T(n)是一个关于正整数的命题,如果 T(n)满足: （1）对n=1,2,… 成立; （2）假设T(k)(k是正整数,1≤k≤ )成立 能推出T(k+ )成立； 那么命题T(n)对一切正整数成立.
利用归纳法的一般步骤获得猜想



注意到了某些相似性 作进一步推广，验证这些相似性 继续扩大而得到一个可能的一般表 达式.
例子2：


费尔马曾考察数列:5、17、257、65537, 2n 它的一般项是 2 1 .他观察到,对应于 n=1、2、3和4，头四项都是素数，他由 此猜想其随后各项也都是素数. 欧拉（Euler）发现恰好紧接着的一项即 n=5对应于的那一项是，它不是素数，因 为它能被641除尽.
演绎、归纳与类比
演绎推理



演绎推理是从一般到特殊的推理. 用演绎推理 获得的结论，只要前提可靠，结论就一定可 靠.在演绎推理中，非常重要的一种是三段论. 所谓三段论是从某类事物的全称判断和一个 特称判断得出一个新的，较小的全称或特称 判断的推理形式. 演绎推理是证明方法. 只要前提正确，推理 规则正确，得到的结论一定正确.
第一数学归纳法
设T(n)是一个关于正整数的命题,如果 T(n)满足： （1）对n=1成立； （2）假设T(k)(k是正整数,k≥1)成立能推 出T(k+1)成立; 那么命题T(n)对一切正整数成立.

第二数学归纳法
设T(n)是一个关于正整数的命题,如果 T(n)满足: （1）对n=1成立; （2）假设T(t)(1≤t≤k的正整数)成立能 推出T(k+1)成立; 那么命题T(n)对一切正整数成立.
例子1：



在数学中类比的一个例子是柯尔莫夫的公理化概率论,在这之前, 概率的数学含义一直混淆不清,没有坚实的数学基础.柯尔莫夫 将概率与测度作类比,测度本是直线段长度的推广,勒贝格为了 发展积分论而使得一些直线上的集合也有“长度”,既满足可数 可加性的测度,柯尔莫夫看到概率不过是对“事件集”的一种测 度,于是将概率看作抽象的事件空间中事件集上的可数可加测度, 对应关系如下： 直线上测度 概率 全直线L 事件空间X 点集E 事件集A E→M(E)(测度) A→P（A）（概率） 由于这样的类比关系,概率论就依托勒贝格发展起来的实变函数 论获得长足发展,随机变量就是可测函数,数学期望就是一种积 分,许多过去只在直线上研究的积分定理都可以移植到抽象概率 空间上去了.
类比推理
类比推理

类比推理获得结论不一定可靠.
类比的常见类型




个别与一般的类比.如数的运算到式的运算，图 形的全等到图形的相似，整数指数幂到分数指 数幂等等. 某种特性的类比.如从数的分配率c(a+b)=ca+cb 到式的分配率、数列的极限运算 limC(A+B)=limCA+limCB等等. 低维与高维的类比.如从三角形的重心到四面体 的重心，平面三角到球面三角，一维积分到多 维积分等等. 方法的类比. 如一元一次不等式的解法与一元 一次方程的解法类似.


类比有助于发现.波利亚:“没有这些思路(普遍化、特 殊化和类比的通用的基本思路),特别是没有类比,在初 等或高等数学中也许就不会有发现”. “类比是一个 伟大的引路人.”开普勒:“我珍视类比胜过任何别的 东西,它是我最信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在 几何学中它是最不容忽视的.”拉普拉斯:“甚至在数 学里发现真理的主要工具是归纳和类比.”康德:“每 当智力缺乏可靠论证思路时,相似思考往往能指引我们 前进.” 类比能够帮助我们进行教学设计. 类比是学习、系统地掌握知识和巩固知识的有效方法 . 类比在解题过程中能够启迪我们思维.
例3:“椭圆的标准方程”教学设计

复习圆的标准方程的建立过程：建立平面直角坐标系——设出定 点与动点的坐标——利用圆的概念建立方程——化简方程.类比 圆方程的推导过程，学生独立思考的基础上小组合作探究椭圆的 标准方程的推导过程:建立平面直角坐标系——设出定点与动点 的坐标——利用椭圆的概念建立方程——化简方程.上述了两个 方程的建立方法完全一样，所不同的是方程的化简环节：根据圆 的定义建立的方程只含有一个二次根式，一次平方可以将无理式 化归为有理式；根据椭圆的定义建立的方程是含有两个二次根式 的方程，需要两次平方方能将无理式化归为有理式.如何平方是 教学的难点内容，此处可以充分发挥学生的学习自觉性，鼓励学 生广泛联想，将之前学习的知识类比、迁移过来解决这个问题， 这样做能够培养学生数学思维的灵活性与创新性，为进一步学习 打下扎实的基础.
不完全归纳法是数学发现与创新的有效 方法.它是一种发明创造的方法. 不完全归纳法在数学教学中有广泛的应 用. 通过归纳法提出的有关猜想可以作为数 学研究的出发点，丰富数学研究的内容， 推动数学科学向前发展.
例子
归纳的新进展


20世纪统计学的发展给归纳法带来新的内容， 其主要特点是加入不确定性，如:在特殊环境中, 在不确定的信息下，作出决策:被告有罪吗? 明 天的股指将下降多少? 吃麦片粥有利于降低胆 固醇吗? 抽烟有害吗? 等等. 在现实生活中， 需要在不确定的情况下作出判断的事例非常多. 度量不确定性.由于归纳推理产生的知识具有不 确定性，所以推断缺乏精确性，不容易被人们 所接受. 然而一旦能够度量每一个过程的不确 定性，则获得的知识可以变成确定性的，当然， 这种确定性有新的理解.

跳步归纳法证明
跳步归纳法举例

证明任一正方形都可以剖分成个数 多于5个的正方形.
“倒序”归纳法
设T(n)是一个关于正整数的命题,如果 T(n)满足: （1）对无穷多个正整数成立; （2）假设T(k+1)(k≥1正整数)成立能推出 T(k)成立； 那么命题T(n)对一切正整数成立.

“倒序”归纳法证明

“螺旋”归纳法证明
“螺旋”归纳法举例
数列{ a i }满足 其中n是正整数,又令 S n 表示数列{ a i }的 n 2 , a2n1 3n(n 1) 1
S 2n
1 1 2 2 n(4n 3n 1), S 2 n 1 n(4n 3n 1) 2 2
例2:“分式的加减法”教学设计


分式的加减法法则是：同分母的分式相加减，分母不变，分子相 加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加 减. 复习分式与分数的概念，引导学生观察分式与分数概念、表达式 的相似，猜测它们的运算性质也相似.进而类比分数加减法运算 法则探索分式加减法的运算法则，在学独立思考、合作交流的基 础上，师生共同概括出分式的加减法法则.然后安排适当的练习 ，以巩固分式的加减法法则，从而达到使学生掌握分式加减法运 算的目的.

二重归纳法证明

。
二重归纳法举例
归纳推理

归纳推理是从特殊到一般的推理，既由 几个单称判断或特称判断得到一个新的 全称判断的推理. 它可以进一步划分为完 全归纳推理和不完全归纳推理.
完全归纳推理


完全归纳推理是考察一类事物的每一个对 象，肯定或否定它们具有某一属性，从而 得到这类事物都具有或都不具有这一属性 的一般性结论的推理形式. 完全归纳法获得的结论是正确的. 采用完全归纳推理应注意:(1)研究对象的 数量不宜太大，且要确知全部对象为何； (2)研究的属性应是这些对象所固有的、共 同的本质属性.
例子1：




3＋7＝10,3＋17＝20,13＋17＝30 3,7,13,17都是奇素数,两个奇素数之和必定 是一个偶数,10,20,30也正好都是偶数 其他的偶数又怎样呢?它们也有类似的性质吗? 也是两个奇素数之和吗? 继续试验:6＝3＋3,3＋5……也许是对的！ 猜测:“每一个大于4的偶数都是两个奇素数 的和”.
如何培养学生的类比能力



重视基础知识、基本技能、基本的数学思 想方法的教学,基本活动经验的积累，使 学生拥有完善的数学认知结构; 教学中渗透类比思想,适当使用类比方法, 为学生做出示范; 指导学生尝试使用类比方法于学习、复习、 总结知识,解决问题等环节.
不完全归纳推理


不完全归纳推理(又叫经验归纳推理或实 验归纳推理)是考察一类事物的部分对象 具有或者不具有某一属性，从而作出这 类事物都具有或都不具有这一属性的一 般性结论的推理形式. 不完全归纳推理所得到的结论不一定可 靠.
不完全归纳推理-我们认识和研究的重要推理之一



从共性与个性的辩证关系看，共性存在于个性之中， 通过个性能够认识共性，通过特殊能够认识一般，个 性中有的属性是为全体所共有的，有的则是个体所特 有的，如果将个体中全体所共有的属性进行概括得到 一般结论，那么这个结论是可靠的，所以归纳法是有 价值的、是似真的. 从普遍性与特殊性的关系看，普遍性寓于特殊性之中， 特殊性包含普遍性，作为归纳基础的特殊性能够反映 出共同的普遍性的东西，所以，归纳推理是可行的. 从人们认识事物的规律看，人们认识客观事物总是从 认识个别事物开始，初步认识一般事物的共同性质的 , 因此，不完全归纳法对人类认识范围的扩大有重要意 义.
不完全归纳法的特点



归纳的前提是个别事实，或特殊情况， 所以，归纳立足于观察与实验，其结论 不一定可靠. 归纳是依靠若干已知的、不完备的现象 推断未知的现象，因而结论具有猜测的 性质. 归纳是从特殊现象推断一般现象，因此， 由归纳所获得的结论超越了前提所包含 的内容.
不完全归纳法的作用



类比的基础