3-1 已知某单位反馈系统的开环传递函数为1)(+=Ts Ks G k ，试求其单位阶跃响应。

解法一，采用拉氏反变换：系统闭环传递函数为：()()()()1()1k k G s C s Ks R s G s Ts K Φ===+++ 输入为单位阶跃，即：1()R s s= 故：1()()()11K A BC s s R s K Ts K s s s T=Φ=⋅=+++++ 可由待定系数法求得：,11K KA B K K ==-++ 所以，1111()()111K K K K K C s K K s K s s s T T++=-=-+++++对上式求拉氏反变换：1()(1)1k t TK c t e K +-=-+解法二，套用典型一阶系统结论：由式(3-15)，已知典型一阶系统为：()1()()1C s s R s Ts Φ==+ 由式(3-16)，其单位阶跃响应为：1()1t Tc t e-=-若一阶系统为()()()1C s Ks R s Ts Φ==+，则其单位阶跃响应为：1()(1)t T c t K e -=- 现本系统闭环传递函数为：()()(1)()()1()1(1)11k k G s C s K K K K s R s G s Ts K Ts K T s '+Φ====='++++++ 其中，,11T KT K K K ''==++ 所以，11()(1)(1)1k t t T T Kc t K ee K +--''=-=-+采用解法二，概念明确且解题效率高，计算快捷且不易出错，应予提倡。

3-2 设某温度计可用一阶系统表示其特性，现在用温度计测量容器中的水温，当它插入恒温水中一分钟时，显示了该温度的98%，试求其时间常数。

又若给容器加热，水温由0℃按10℃/min 规律上升，求该温度计的测量误差。

解：（1）由题意知，误差为2%，因此调节时间：41min s t T ==，即时间常数T ：10.25min 15sec 4s T t ===（2）由题意知输入信号为斜坡信号，()10min r t C ︒=。

由式(3-24)，一阶系统跟踪斜坡信号时有一固定稳态误差：10min 0.25min 2.5ss te AT C C ︒︒==⨯=3-3 一阶系统的结构如题3-3图所示，其中K 1为开环放大倍数，K 2为反馈系数。

设K 1＝100，K 2＝0.1。

试求系统的调节时间t s （按±5％误差计算）；如果要求t s ＝0.1，求反馈系数K 2。

题3-3图 系统的结构图解：系统闭环传递函数为：1121212121()()()11K K K C s s s K K R s s K K K K sΦ====+++ 可见，时间常数1210.1sec T K K == （1）调节时间30.3sec s t T ==（5％误差） （2）已知1233s t T K K ==，所以21330.30.1100s K t K ===⨯3－4 设单位反馈系统的开环传递函数为)5(4)(+=s s s G k ，求该系统的单位阶跃响应。

解：系统闭环传递函数为：2()()4()()1()54k k G s C s s R s G s s s Φ===+++ 这是一个二阶过阻尼系统(1)ζ>，不是二阶振荡系统，因此不能套用现成结论。

可用传统方法求解，即： 输入为单位阶跃：1()R s s= 故：24111343()()()5441C s s R s s s s s s s =Φ=⋅=+-++++对上式求拉氏反变换：t t e e t c ---+=34311)(43-5 已知某系统的闭环传递函数为222()()()2n n nC s s R s s s ωζωωΦ==++系统单位阶跃响应的最大超调%8%=σ，峰值时间s t p 1=，试确定ζ和n ω值。

解：由o oeσ-=，可求得：0.627ζ== （也可查图3-16而得）由p t =，可求得： 4.031n rad s ω==3-6 一单位反馈系统的开环传递函数为)1(1)(+=s s s G k求：（1）系统的单位阶跃响应及动态性能指标r t 、p t 、s t 和%σ； （2）输入量为单位脉冲时系统的输出响应。

解：系统闭环传递函数为：2()()1()()1()1k k G s C s s R s G s s s Φ===+++ （注：上式已经符合标准式(3-27)，否则应变换为标准式才能继续） 系统的参数为：11,210.52n n nωζωζω==⇒==，为欠阻尼。

（1）由式（3-46），单位阶跃响应：()1()n t c t ζωωθ-=+，其中θ=代入各参数：0.5()1 1.15sin(0.866 1.047)tc t et -=-+，其中 1.047rad θ==以下求各指标：由r t =，其中 1.047rad θ==，故： 2.418sec r t ==3.628sec p t ==36sec (5%)48sec (2%)ns nt ζωζω⎧=∆=⎪⎪=⎨⎪=∆=⎪⎩100%16%o o e σ-== （也可查图3-16而得）（2）由式（3-46），单位脉冲响应：()()sinntg t c tζωω-==代入各参数：0.5()() 1.15sin0.866tg t c t e t-==3-7 某二阶系统的结构框图如题3-7图所示，试画出0=AK，10<<AK和1>AK时的单位阶跃响应曲线。

题3-7图控制系统框图解：系统闭环传递函数为：21()1(1)()1()(1)11(1)(1)AAC s s ssR s s K sK ss s+Φ===++++++系统的参数为：11,212An n AKKωζωζ+==+⇒=。

(1) 0=AK此时，10.52AKζ+==，为欠阻尼，可求得：3.628secpt==36sec(5%)48sec(2%)nsntζωζω⎧=∆=⎪⎪=⎨⎪=∆=⎪⎩100%16%ooeσ-==(2) 10<<AK此时，由12AKζ+=，可知0.51ζ<<，仍为欠阻尼。

由于阻尼比增大，因此超调量减小。

若0.50.9ζ<<, 调节时间st将由于阻尼比的增大而减小.(3) 1>AK此时，由12AKζ+=，可知1ζ>，成为过阻尼系统，因此没有超调量。

调节时间st的计算不能应用公式1(3~4)sntζω≈⨯, 应按照定义计算, 通常会加大, 略.三种情况下的单位阶跃响应曲线如下面图所示。

3-8 由实验测得二阶系统的单位阶跃响应曲线)(t c 如题3-8图所示，试计算其系统参数ζ和n ω。

题3-8图 二阶系统的单位阶跃响应曲线解：由图可知，20%,0.2sec o op t σ==。

由ooeσ-=，可求得：0.456ζ== （也可查图3-16而得）由p t =，可求得：17.65n rad s ω==3-9 某系统如题3-9图所示，若要求单位阶跃响应)(t c 的最大超调%20%=σ，调节时间)02.0(sec 2=∆≤s t ，试确定K 值和b 值。

题3-9图 控制系统框图解：系统闭环传递函数为：22()()()1(1)K C s Ks s K R s s Kbs K bs s Φ===++++ ps1(c t (p c t与标准式(3-27)比较，知：n ω且2n Kb ζω=，所以：2n Kb ζω==根据题意，最大超调%20%=σ。

而超调量是阻尼比ζ的单值函数，由此可决定阻尼比ζ：0.456ζ== 而调节时间42sec (0.022%)s nt ζω=≤∆==，所以：4 4.386n s rad s t ωζ≥=由此得联立方程：4.3860.456n rad s ωζ⎧=≥⎪⎨==⎪⎩ 解得：219.240.208n K b ω⎧=≥⎪⎨==⎪⎩3-10 典型二阶系统的单位阶跃响应为1.2()1 1.25sin(1.653.1)t c t e t -=-+︒试求系统的最大超调σ％、峰值时间p t 、调节时间s t 。

解：由式（3-46），典型二阶系统的单位阶跃响应表达式为：()1()n t c t ζωωθ-=+，其中θ=将上式与给定响应式比较，可计算系统的二个参数,nωζ。

1.25=，求得阻尼比：0.6ζ== 或者也可这样求：由arctan53.1θ==︒，求得阻尼比：0.6ζ==由 1.2nζω=，得 1.22(/sec)rad nω==二个参数求出后，求各指标就很方便了。

（1）最大超调100%9.5%oo eσ-== (或查图3-16)（2）峰值时间 1.96sec p t ==（3）调节时间：32.5sec (5%)43.33sec (2%)ns nt ζωζω⎧=∆=⎪⎪=⎨⎪=∆=⎪⎩3-11 已知某三阶控制系统的闭环传递函数为)5.02.0)(5.02.0)(56.3(378)()()(j s j s s s R s C s -++++==Φ 试说明该系统是否有主导极点。

如有，求出该极点，并简要说明该系统对单位阶跃输入的响应。

解：闭环系统有三个极点，分别是：1,230.20.5, 3.56s j s =-±=-将实极点与共轭复极点的实部作一比较：31,2Re [] 3.5617.85Re []0.2s s ==>，且附近无零点。

因此1,20.20.5s j =-±确实可视为闭环系统主导极点。

即可以用二阶主导极点系统近似等于原三阶系统：222()378()()( 3.56)(0.20.5)(0.20.5)3783.56(0.20.5)(0.20.5)3660.5420.370.540.54C s s R s s s j s j s j s j s s Φ==++++-≈+++-⨯=+⨯⨯+ 该二阶系统的参数为：0.37,0.54n ζω==单位阶跃输入的响应指标为：%29%,15sec (5%)s t σ≈≈∆=±3-12 已知控制系统的特征方程如下，试分析系统的稳定性。

3-12（1）054322345=+++++s s s s s 解：①特征方程的系数均大于0且无缺项。

②列劳斯表如下5s 1 1 4 4s 2353s12- 3212113122b ⨯-⨯==- 22415322b ⨯-⨯==2s 9 51123232912c -⨯-⨯==-1s 3718193212537918d ⨯+⨯==0s5结论：劳斯表第—列变号二次，系统不稳定。

（特征方程有二个右根）3-12（2）010532234=++++s s s s 解：①特征方程的系数均大于0且无缺项。