（5）集合的元素可以任意多，并且一些完全毫不相 关的事物都可以是同一集合中的元素。
❖ 一个概念的形成大致需要经过两方面： ❖ 一方面是从内在条件把握各个有关因素对这个概念所作
的规定，即此概念的内在涵义，我们称其为概念的“内 涵”。 ❖ 另一方面就是此概念所包含的东西，也就是符合此概念 事物的全体，我们称其为概念的“外延”。外延实际 上是表现概念的一个集合。 ❖ 内涵和外延是刻画概念的两个方面， 他们是相辅相成的。
第一章 绪 论
1.1 模糊数学的发展 1.2 模糊性 1.3 模糊数学的应用
1.1 模糊数学的发展
1、数学的定义
19世纪之前:数学是关于物质世界的空间形式和 数量关系的科学。
近代科学的特点：用精确定义的概念和严格证明的 定理描述现代事物数量的关系和空间形式，用精 确的实验方法和精确的测量计算探索客观 世界的规律，建立严密的理论体系。
未来数学将分为三大类：
第一代是经典数学， 第二代是统计数学， 第三代是模糊数学。
第二章 模糊集合
2.1 经典集合论概述 2.2 模糊集合概念 2.3 隶属函数的构造 2.4 模糊集合代数运算 2.5 截集 2.6 分解定理 2.7 模糊集合度量
2.1 经典集合论概述
2.1.1 集合的基本概念
❖ 定义2-1 ：具有某种共同性质事物的全体称为集合， 而每一个个别事物称为该集合的“元素”。
19世纪之后:数学是从量的侧面研究客观世界的一门学科。
2、数学发展的三个阶段
(1) 数学是关于数学几何图形的科学； (2) 数学是研究量的变化和几何图形变换的科学； (3) 数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空 间形式的科学。
即是说：任何的学科和对象都会有数学的应用。
❖ 现代数学分为三类：
清晰事物
状态 清晰的
类属
实例
界限分明 行星，整数，鸡蛋 相对的
模糊事物 不清晰的 界限模糊 高山，优秀，胖子 绝对的
注意：同一事物在一方面是清晰的，在另一方面就可能是不 清晰的。
1.2.2 与模糊性易混淆的几个概念
1、模糊性与近似性
模糊性问题本身有精确解，这时的不精确性来源 于认识条件的局限性和认识过程发展的不充分性。
说明: （1）集合是由元素组成的，它可以理解为存在于 世上的任何客观物体，无论是具体的还是抽象的； （2）经典集合具有两条基本属性：元素彼此异， 即无重复性； （3）范围边界分明,即一个元素x要么属于集合 A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必 居其一；
（4）我们研究的对象的范围叫论域，也叫全集，通 常用U表示，它本身是一种特殊的集合，他的选取一 般不唯一，应根据具体研究的需要而定。
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的，而模糊 数学是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描 述的模糊事物.
1.2 模糊性（模糊数学的基本概念）
❖1.2.1 模糊性的基本概念
清晰事物: 有些事物可以根据某种精确标准对他们进行界 限明确地认识，从而得出是否明确的断言，此类事物称 之为清晰事物。
❖
基础数学（微积分）
❖
应用数学（模糊数学）
❖
计算数学
一个没有二义性并且意义明确的陈述句叫做 一个命题，命题又分为真命题和假命题。
理发师悖论
一个理发师的招牌上写着：
理
发
师
悖
论
谁给这位理发师刮脸呢？
3、模糊数学的产生
（1）1874年德国数学家康托尔发表集合论文 （2）至今集合还没有一个精确的定义 （3）1965年扎德的《模糊集合》标志着模糊数学的诞生
一个命题之所以是模糊的，原因在于所涉及的类本身 是模糊的。
一个含混的命题既是模糊的，又是二义的，它对一个 特定的目的只提供了不充分的信息。 一个命题是否带有含混性与其应用对象或与上下文有 关，而模糊性却非如此。
1.3 模糊数学的应用
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济 的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地 质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广 泛而又成功的应用.
糊集（边界不明显的类）提供了一种分析复
杂系统的新方法。他提出用语言变量代替数
值变量来描述系统的行为，使人们找到了一
种处理不确定性的方法，并给出一种较好的 人类推理模式。20年来他所开创的模糊集领 域得到了迅速发展。
与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有 价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.
近似性问题本身无精确解，这时的不精确性自然 来源于对象自身固有的状态上的不确定性。它 仅是模糊现象中的一种。
2、模糊性与定
内在不确 定
随机性 状态属性确定 外在不确 定
不服从 排中律
服从排 中律
关系到信息的意 义
只涉及信息的量
3、模糊性与含混性
例如：（自然科学中）计算机图像识别，手书文字自 动识别，癌细胞识别，白血球的识别与分类，机器人 控制，计算机医疗诊断，疾病预报，各类信息的分类 与评估、天气预报、气候模拟试验等等。
例如（社会科学中）模糊语言、模糊概念、对特 定的集体、个人在给定因素方面的评价、分 类、排序等等。
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众 所周知，经典数学是以精确性为特征的.
❖ 扎德（Zadeh，L.A.；1921～ ）
❖ 美国自动控制专家，美国工程科学院院士。 1921年2月生于苏联巴库。 1949年获哥伦比亚大学 电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工 程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱 性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋 章。
❖ 1965年，扎德在《信息与控制》杂志第8 期上发表《模糊集》的论文,引起了各国数学 家和自动控制专家们的注意。他通过引进模
清晰性：清晰事物具有的明确类属特性。
模糊事物：有些事物无法找出它们精确的分类标准， 这类事物的类属是逐步过渡的，即从属于某类事物 到不属于某类事物是逐渐变化的，不同类别之间不 存在截然分明的界限，这类事物称为模糊事物。
模糊性：事物的这种不清晰类属特性称之为模糊性。
说明：凡在类属问题上能判断或是或非的对象， 就是清晰事物；凡在类属问题上只能区别成都 等级的对象，就是模糊事物。