（一）.一、填空题1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。

2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。

3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为32log bit/符号。

4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= H r (S)）。

5、当R=C 或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。

6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。

7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。

8、若连续信源输出信号的平均功率为2σ，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或()222x f x σ-=时，信源具有最大熵，其值为值21log 22e πσ。

9、在下面空格中选择填入数学符号“,,,=≥≤〉”或“〈”（1）当X 和Y 相互独立时，H （XY ）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。

（2）()()1222H X X H X =≥()()12333H X X X H X = （3）假设信道输入用X 表示，信道输出用Y 表示。

在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)<H(X)。

二、若连续信源输出的幅度被限定在【2,6】区域内，当输出信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明该信源的绝对熵为多少。

()1,2640,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它()()()62log f x f x dx ∴=-⎰相对熵h x=2bit/自由度该信源的绝对熵为无穷大。

三、已知信源1234560.20.20.20.20.10.1S s s s s s s P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L ;（4分）（3）计算编码信息率R ';（2分）（4）计算编码后信息传输率R ;（2分） （5）计算编码效率η。

（2分）（1）010101111.00.20.20.20.20.10.11S 2S 3S 4S 5S 6S编码结果为：1234560001100101110111S S S S S S ====== （2）610.420.63 2.6i i i L P ρ===⨯+⨯=∑码元符号（3）bit log r=2.6R L '=符号（4）() 2.53bit0.9732.6H S R L ===码元其中，()()bit 0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1 2.53H S H ==符号 （5）()()0.973log H S H S L rLη===四、某信源输出A 、B 、C 、D 、E 五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。

如果符号的码元宽度为0.5s μ。

计算： （1）信息传输速率t R 。

（2）将这些数据通过一个带宽为B=2000kHz 的加性白高斯噪声信道传输，噪声的单边功率谱密度为6010W n Hz-=。

试计算正确传输这些数据最少需要的发送功率P 。

解：（1）()()1t X R H X H Y t ⎡⎤=-⎣⎦()61111log 4log 882211log8log 22231log 2log 2222log 22bit 24100.5t H X bit R bpssμ=-⨯-=+=+====⨯（2）66662410210log 1102101226P PP W-⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⨯⨯⎝⎭+==五、一个一阶马尔可夫信源，转移概率为()()()()1121122221|,|,|1,|033P S S P S S P S S P S S ====。

(1) 画出状态转移图。

(2) 计算稳态概率。

(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。

(4) 计算稳态下1H ,2H 及其对应的剩余度。

解：(1)1SS 13(2)由公式()()()21|i ij j j P S P SS P S ==∑有()()()()()()()()()()()21112122211122|31|31i i i i i i P S P S S P S P S P S P S P S S P S P S P S P S ==⎧==+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩∑∑ 得()()123414P S P S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3)该马尔可夫信源的极限熵为：()()()2211|log |322311log log433433110.578 1.599240.6810.4720.205i j i j i i j H P S P S S P S S bit nat hart ∞===-=-⨯⨯-⨯⨯=⨯+⨯===∑∑符号(4)在稳态下：()()213311log log log 0.8114444i i i P x P x bit =⎛⎫=-=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭∑符号20.2050.4720.681H H hart nat bit ∞====符号符号对应的剩余度为1100.811110.1891111log log 2222H H η=-=-=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2200.681110.3191111log log 2222H H η=-=-=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。

试求这种信道的信道容量。

XY解：信道传输矩阵如下|11002211002211002211022Y XP ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可以看出这是一个对称信道，L=4,那么信道容量为()()111log 4,,0,022log |log |11log 42log221Lj i j i j C H L p y x p y x bit=⎛⎫=- ⎪⎝⎭=+=+⨯=∑七、设X 、Y 是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。

定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。

试计算 (1) ()(),;H X H Z (2) ()(),;H XY H XZ (3) ()()|,|;H X Y H Z X (4) ()();,;I X Y I X Z ;()11,122H X H bit ⎛⎫== ⎪⎝⎭31(2),0.811344H H bit ⎛⎫== ⎪⎝⎭(2) ()()()112H XY H X H Y bit =+=+=对()()()()1111|11,0, 1.52222H XZ H X H Z X H H bit ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭对(3) ()()|1H X Y H X bit ==()()1111|1,0,0.52222H Z X H H bit ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(4) ()()()()(),|0I X Y H Y H Y X H Y H Y =-=-=()()(),|0.81130.50.3113I X Z H Z H Z X bit =-=-=八、设离散无记忆信源的概率空间为120.80.2X x x P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为[]12,Y y y =，信道传输概率如下图所示。

1x 2x 1y 2y(1) 计算信源X 中事件1x 包含的自信息量； (2) 计算信源X 的信息熵； (3) 计算信道疑义度()|H X Y ； (4) 计算噪声熵()|H Y X ；(5) 计算收到消息Y 后获得的平均互信息量。

解：(1) ()1log0.80.3220.09690.223I x bit hart nat =-=== (2) ()()0.8,0.20.7220.50.217H X H bit nat hart ====符号符号符号 (3)转移概率：联合分布：()2231,,,31520201.4040.9730.423H XY H bit nat hart ⎛⎫= ⎪⎝⎭===符号()()49/60,11/600.6870.4760.207H Y H bit nat hart ====符号()()()|0.7170.4970.216H X Y H XY H Y bit nat hart =-===符号(4)()()()|0.6820.4730.205H Y X H XY H X bit nat hart =-===符号符号符号(5)()()();|0.005040.003490.00152I X Y H X H X Y bit nat hart =-===符号（二）五 居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设A 表示“大学生”这一事件，B 表示“身高1.60以上”这一事件，则 P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 I(A|B)=-log0.375=1.42bit六、.信源空间为1234567()0.20.190.180.170.150.10.01X x x x x x x x P X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。

七.二元对称信道如图。

1）若()430=p ，()411=p ，求()X H 、()Y X H |和()Y X I ;； 2）求该信道的信道容量。

解：1）共6分14.3)(71==∑=i i i l a p L 831.014.361.2)(===LX H R ()符号/749.0|bit Y X H =2）， ，此时输入概率分布为等概率分布。

八、设一线性分组码具有一致监督矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110101100110111000H1）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？ 2）求此分组码的生成矩阵G 。

3）写出此分组码的所有码字。

4）若接收到码字（101001），求出伴随式并给出翻译结果。

解：1）n=6,k=3,共有8个码字。

（3分）2）设码字()012345C C C C C C C =由T T HC 0=得⎪⎩⎪⎨⎧=⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕0000135034012C C C C C C C C C C （3分）令监督位为()012C C C ，则有⎪⎩⎪⎨⎧⊕=⊕=⊕=340451352CC C C C C C C C （3分） 生成矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101100110010011001 （2分）3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。