1
x(n)zn x(n)zn
n
n0
z Rx2
z Rx1
若 Rx2 Rx1, X (z) 收敛域：Rx1 z Rx2
若 Rx2 Rx1, X (z) 不收敛。
x (n )
0
n
j Im z
Rx2
R x1
Re z
例： x(n)anu(n)bnu( n 1 )
求 X ( z ) 并确定收敛域，其中 (ba 0)。
0,1,0,1,0,1,L37015n
1
§8.3 变z 换的收敛域
Z [anu(n)] z
,z a
za
Z[anu(n1)] z , z a
z a
Z[anu(n1)] anzn a n z n (a 1z)n
n1
n 1
n 1
a 1z 1 a 1z
z za
,z a
x(n) X(z),收敛域 下面讨论各种类型序列的 z 变换的收敛域。
第八章 z变换、离散时间系统的 域z 分析
§8.1 引言
§8.2 变z 换定义、典型序列的 变z换 §8.3 变z 换的收敛域 §8.4 逆 变z 换 §8.5 变z 换的基本性质 §8.6 变z 换与拉氏变换的关系 §8.7 利用 变z 换解差分方程
§8.8 离散系统的系统函数 §8.9 序列的傅里叶变换（DTFT） §8.10 离散时间系统的频率响应特性
（1）有限长序列
序列仅在有限的区间 (n1 n具有n2非) 零的有限值
n2
X(z) x(n)zn
x (n )
nn1
（a） n10,n20时
n1
n2 n
X (z) 收敛域：0 z
例：x(n)[1,2,3,2,3] X(z)z22z323
z z2
（b） n 2 0 时 X (z) 收敛域： z
（c） n1 0 时 X (z) 收敛域： z 0
（2）右边序列
x (n )
x(n)x(n)u(nn1)
X(z) x(n)zn
n1
nn1
（a） n1 0 时 X (z) 收敛域：z R x1
（b） n1 0 时 X (z) 收敛域：Rx1 z
n
j Im z
R x1
Re z
（3）左边序列
n0
1
1 z 1
z z1
,z 1
••
••
-2 -1 0 1 2 n
u (n)
1
...
••
-2 -1 0 1 2 3 n
（3）Z[nu(n)]zddzzz1
(z
z 1)2
,z 1
z 变换的 z 域微分特性：
nu (n)
2 1
若 x(n) X(z)
•0 1 2
则 nx(n) zdX(z) dz
X(z) 2z z z1 z0.5
(1) z 1
x(n)(20.5n)u(n)
j Im z 0 0 .5 1 R e z
(2) 0.5 z 1 x(n ) 2 u ( n 1 ) 0 .5 nu (n )
(3) z 0 .5
x (n )
x(n)x(n)u(n2n)
n2
X(z) x(n)zn
n
（a） n 2 0 时 X (z) 收敛域：z R x 2
Rx2
n2 n
j Im z
（b） n 2 0 时 X (z) 收敛域：0 z Rx2
Re z j Im z
Rx2
Re z
（4）双边序列
X(z) x(n)zn n
a nu (n )
1
（4）Z [anu(n)] anzn
az 1 n
n0
n0
11az1
z z a
,z a
0 1 234
3
...
3n
5n
（5）Z[cos(0n)u(n)]12[zzej0
z zej0
]
z(zcos0) z2 2zcos0 1
ej0nu(n)zzej0 ,ej0nu(n)zezj0
x(n)zn zRezjImz z变换的收敛域 n
序列 x ( n的) 单边 变z 换:
X (z)Z[x(n )u(n )]x(0 )x(1 )z 1x(2 )z 2 L
x(n) z n n0
（二） 典型序列的 z变换
（1） Z[(n)]1
(n) 1
收敛域：整个 z 平面
（2） Z
[u(n)] zn
j Im z
解：X(z)Z[x(n)]
Z [a n u (n )] Z [ b n u ( n 1 )] z z ,a z b
za zb
ab
Re z
由于 X ( z ) 在收敛域内是解析的，因此收敛域内不应该包含
任何极点。
通常，X ( z ) 的收敛域以极点为边界。对于多个极点的情况，右
边序列之收敛域是从 X ( z ) 最外面有限极点延伸至 z（可能包 含 ）；左边序列之收敛域是从 X ( z ) 最里面非零极点延伸至 z 0 （可能包含 0 ）。
,z 1
Z[cos(0n)u(n)]z2z(z2z ccooss00
) 1
,
z
1
Z[sin(0n)u(n)]z2
z sin0 2z cos0
1
,z
1
cos( n)u(n)
cos2nu(n)
z2 z21
,
z
1
1
2
2
6
1,0,1,0,1,0,L
0
4
8n
1
sin2nu(n)
z z21
,
z
1
1
sin( n)u(n) 2
§8.4 逆 变z 换
X(z)Z[x(n)] x(n)zn n
x(n)Z1[X(z)]
j Imz
C
Rez
Ñ 1 X(z)zn1dz
2j C
C 是位于 X ( z ) 收敛域之内的围绕坐标原点的逆时针的闭合
积分路线。
逆 z变
换方法
围线积分法（留数法）：P433 例8-2 幂级数展开法： P434 例8-3、8-4 部分分式展开法：仅适用于X ( z ) 为有理分式的情况
部分分式展开法
Z [anu(n)] z
,z a
za
Z[anu(n1)] z , z a
za
X(z) Am
z
m z zm
X(z) Amz m z zm
例1：讨论
X(z)z2
z2
可能的收敛域，并求对应的序列。
1.5z0.5
解： X(z)
z
2 1
z z21.5z0.5 z 1 z 0.5
§8.1 引言
z变换将差分方程转化为代数方程。 z 变换在离散时间系统中的地位和作用，类似于连续时间
系统中的拉氏变换；
§8.2 变z 换定义、典型序列的 变z 换
（一） z变换的定义
序列 x ( n的) 双边 变z 换: X(z)Z[x(n)]
以x ( n )为系数的 z 的1 幂级数
L x ( 2 ) z 2 x ( 1 ) z 1 x ( 0 ) z 0 x ( 1 ) z 1 x ( 2 ) z 2 L