随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。

解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][22b btV bsV stV E +++= 2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yte t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解 对于任意0>t ，Ytet X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F tY ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t 均值函数 ⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e eE eeE t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程 ⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和； （2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X X t σσ。

解 （1）21=t 时，)1(X 的分布列为一维分布函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,210,0),21(x x x x F 1=t 时，)1(X 的分布列为一维分布函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=2,121,211,0),1(x x x x F （2）由于)1()21(X X 与相互独立，所以))1(),1((X X 的分布列为二维分布函数 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤-≥≥<≤<≤-<≤-<<=2,1,121,12,10,2121,10,4110,0),;1,21(212121212121x x x x x x x x x x x x F 或或（3）t t t t t m X +=⋅+=)cos(21221)cos(21)(ππ 21)1(=X m222222])cos(21[)2(21)(cos 21)]([)]([)(t t t t t EX t X E t X +-+=-=ππσ)cos()(cos 412)(cos 212222t t t t t t πππ---+=)cos()(cos 4122t t t t ππ-+=2])cos(21[t t -=π49)1(2=X σ2.4 设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ωω+=，其中ω为常数，B A ,是相互独立且服从正态分布),0(2σN 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。

解 因B A ,独立，),0(~2σN A ，),0(~2σN B所以，2][][,0][][σ====B D A D B E A E 均值 )]sin()cos([)]([)(t B t A E t X E t m X ωω+==0][)sin(][)cos(=+=B E t A E t ωω 相关函数[]))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++== []1221212212sin cos sin cos sin sin cos cos t t AB t t AB t t B t t A E ωωωωωωωω+++= ][sin sin ][cos cos 221221B E t t A E t t ωωωω+=)sin sin cos (cos 21212t t t t ωωωωσ+= )(cos 212t t -=ωσ2.5 已知随机过程)(t X 的均值函数)(t m X 和协方差函数)(),,(21t t t B X ϕ为普通函数，令)()()(t t X t Y ϕ+=，求随机过程)(t Y 均值和协方差函数。

解 均值 )()()()]([)]()([)]([)(t t m t t X E t t X E t Y E t m X Y ϕϕϕ+=+=+== 协方差 )()(),(),(212121t m t m t t R t t C Y Y Y Y -= )()()]()([2121t m t m t Y t Y E Y Y -=[])]()()][()([)()()(()((22112211t t m t t m t t X t t X E X X ϕϕϕϕ++-++= )()()]()([2121t m t m t X t X E X X -= 其它项都约掉了 )()(),(2121t m t m t t R X X X -= ),(21t t C X =2.6 设随机过程)sin()(Θ+=t A t X ω，其中ω,A 是常数，Θ在),(ππ+-上服从均匀分布，令 )()(2t X t Y =，求),(τ+t t R Y 和),(τ+t t R XY 。

解 )]()([)]()([),(22τττ+=+=+t X t X E t Y t Y E t t R Y[])(sin )(sin 2222Θ++Θ+=ωτωωt A t A E []))222cos(1))(22cos(1(42Θ++-Θ+-=ωτωωt t E A [])222cos()22cos()222cos()22cos(142Θ++-Θ+-Θ++Θ++=ωτωωωτωωt t t t E A 而 0)22sin(41)22cos(21)]22[cos(=+=+=Θ+--⎰ππππθωπθθωπωt d t t E 同理 []0)222cos(=Θ++ωτωt E 利用三角积化和差公式[])222cos()22cos(Θ++Θ+ωτωωt t E[])424cos()2cos(21Θ+++=ωτωτωt E ωτ2cos 21= 所以，]2cos 211[4),(2ωττ+=+A t t R Y )]()([)]()([),(2τττ+=+=+t X t X E t Y t X E t t R XY )](sin )sin([22Θ++Θ+=ωτωωt A t A E))]222cos(1)([sin(23Θ++-Θ+=ωτωωt t E A )]222cos()sin()[sin(23Θ++Θ+-Θ+=ωτωωωt t t E A )]323sin()2sin()sin(2[43Θ++-Θ++-Θ+=ωτωωτωωt t t E A 而 0)sin(1)]sin(2[=+=Θ+⎰-θθωπωππd t t E同理 0)]323[sin(,0)]2[sin(=Θ++=Θ++ωτωωτωt E t E所以，0),(=+τt t R XY2.7 设随机过程2)(Zt Yt X t X ++=，其中Z Y X ,,是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程)(t X 的协方差函数。

解 根据题意，1,0222=========EZ DZ EY DY EXDX EZ EY EX0][)]([)(22=++=++==EZ t tEY EX Zt Yt X E t X E t m X)]()()][()([),(221121t m t X t m t X E t t C X X X --=)])([()]()([22221121Zt Yt X Zt Yt X E t X t X E ++++==因Z Y X ,,相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零2221212222122121t t t t EZ t t EY t t EX ++=++=2.8 设)(t X 为实随机过程，x 为任意实数，令⎩⎨⎧>≤=xt X xt X t Y )(,0)(,1)(证明随机过程)(t Y 的均值函数和相关函数分别为)(t X 的一维和二维分布函数。

证明 })({0})({1)]([)(x t X P x t X P t Y E t m Y >⨯+≤⨯== );(})({t x F x t X P X =≤=))(),((21t Y t Y 的取值为)0,0(),1,0(),0,1(),1,1(})(,)({11)]()([),(22112121x t X x t X P t Y t Y E t t R Y ≤≤⨯⨯== })(,)({012211x t X x t X P >≤⨯⨯+ })(,)({102211x t X x t X P ≤>⨯⨯+ })(,)({002211x t X x t X P >>⨯⨯+ ),;,(})(,)({21212211t t x x F x t X x t X P X =≤≤=2.9 设)(t f 是一个周期为T 的周期函数，随机变量Y 在（0，T ）上均匀分布，令)()(Y t f t X -=，求证随机过程)(t X 满足⎰+=+Tdt t f t f T t X t X E 0)()(1)]()([ττ 证明 Y 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),0(,1)(T y Ty f Y)]()([)]()([Y t f Y t f E t X t X E -+-=+ττ ⎰∞+∞--+-=dy y f y t f y t f Y )()()(τ⎰-+-=Tdy y t f y t f T 0)()(1τ ⎰-+-=-Tt t du u f u f T u y t )()(1τ ⎰-+=tT t du u f u f T )()(1τ⎰+=Tdu u f u f T 0)()(1τ 2.13 设}0),({≥t t X 是正交增量过程，V X ,0)0(=是标准正态随机变量，若对任意的≥t，VtX与)(相互独立，令VtXtY+=)()(，求随机过程}0),({≥ttY的协方差函数。