弧度制●三维目标1．知识与技能(1)理角弧度的意义．(2)了解角的集合与实数集R之间可建立起一一对应的关系．(3)熟记特殊角的弧度数．2．过程与方法能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题．3．情感、态度与价值观(1)通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神．(2)通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．●重点、难点重点：弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系．●教学建议首先通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出弧度与角度的换算方法．在此基础上，通过具体例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究和解决问题的过程中，更好地形成弧度概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定基础．●教学流程【问题导思】1．在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？【提示】1度．2【提示】利用1弧度角的定义进行换算．1．角度与弧度的互化2.设扇形的半径为例1 将下列各角度与弧度互化． (1)67.5°；(2)112°30′；(3)94π；(4)3.【思路探究】 【自主解答】 (2)112°30′＝112.5°(3)94π rad ＝94×180°＝(4)3 rad ＝3×(180π)°＝规律方法1．在进行角度制和弧度制的换算时，应先将角度制下的含分、秒形式的角化为小数形式并以度为单位后再用公式“π rad ＝180°”换算． 2变式训练1将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 【解】 (1)512π rad ＝512×180°＝75°；(2)－76π rad ＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180 rad ＝－78π rad. 例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈(2)在区间[－5π，0)【思路探究】 (1)可将α(2)关键在于由－5π≤β＋2【自主解答】 又π＜7π6＜3π2，所以α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α又－5π≤r ＜0，∴当k ＝－3时，r ＝－296π；当k ＝－2时，r ＝－176π；当k ＝－1时，r ＝－56π.规律方法所有与角α{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数． 互动探究在本例中，找出在区间【解】 与α由0≤β＜5π得0≤7π6＋2k π＜5π，∴－712≤k 又k ∈Z ，∴k ＝0,1. 当k ＝0时，β＝7π6，当k ＝1时，β＝19π6.例3 (2013·宁德高一检测) 【思路点拨】 先用半径r 表示弧长，再建立扇形面积S 与半径r 之间的函数关系，进而求出最大值． 【自主解答】 设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)．∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2. 此时α＝l r ＝20－2×55＝2(rad)．∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为25 cm 2. 规律方法1．弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径r 和扇形圆心角弧度数 2．本例面积的最值问题是通过转化为面积关于r 的二次函数问题解决的，这种方法是此类问题常用的方法．变式训练已知扇形周长为5，面积为1，求扇形圆心角的弧度数；【解】 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r解得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝12，l 1＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2，l 2＝1.，所以θ＝8 rad ＞2π rad(舍去)或θ＝12 rad.易错易误辨析因角度制与弧度制混用而出错典例 将－1 485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． 【错解】 因为－1 485°＝－4×360°－45° ＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°化为2k π＋α形式应为－10π＋315° 【答案】 －10π＋315°【错因分析】 只考虑了将－1 485°写成了“2k π”的组合形式，而忽视了对者极易犯的一个错误．【防范措施】 在同一式子中，两种单位不能混用，如45°＋2k π(k ∈Z )【正解】 由－1 485°＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.【答案】 －10π＋74π课堂小结1．明确1弧度的含义是掌握本节问题的关键．2．弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可．3．弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆．4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础. 当堂双基达标1．下列叙述中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 【解析】 根据弧度制的定义知D 项正确． 【答案】 D2.3π5弧度化为角度是( ) A ．110° B ．160° C ．108°D ．218°【解析】3π5＝35×180°＝108°. 【答案】 C3．(2013·三明高一检测)把22°30′化为弧度的结果是________． 【解析】 22°30′＝＝22.5180π＝π8. 【答案】 π84．(2013·潍坊高一检测)，求扇形的面积． 【解】 设扇形弧长为l ∴l ＝|α|r ＝2π5×20＝∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝课后知能检测一、选择题1．(2013·重庆高一检测)已知α＝67π，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 α＝67π∈(π2，π)∴α的终边在第二象限． 【答案】 B2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π 【解析】 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.【答案】 B图1－1－43．若角α的终边在如图1－1－4所示的阴影部分，则角α的取值范围是( ) A ．{α|π6＜α＜π3}B ．{α|2π3＜α＜7π6}C ．{α|2π3≤α≤7π6}D ．{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋7π6，k ∈Z }【解析】 易知阴影部分的两条边界分别是2π和7π的终边，所以α的取值范围是{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋7π6，k ∈Z }．【答案】 D4A ．k π＋π4与2k π±π4，k ∈B ．2k π－2π3，k ∈Z 与πC.k π2与k π＋π2，k ∈Z D ．(2k ＋1)π与3k π，k ∈【解析】 选项B 中，2的角的终边相同． 【答案】 B5．(2013·玉溪高一检测)，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1 D.2sin 1【解析】 设圆的半径为R ，则sin 1＝1R ，∴R ＝1sin 1，故所求弧长为l ＝α·R ＝2·1sin 1＝2sin 1.【答案】 D 二、填空题6.π12rad ＝________度，________rad ＝－300°. 【解析】π12＝180°12＝－300°＝－300×π180＝－【答案】 15 －5π37．已知扇形的周长为的弧度数为__________． 【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l 12l ∴α＝8或12.又∵0<α<2π【答案】 128．若角θ的终边与8π5的终边相同，则在角的终边相同的角是________．【解析】 θ＝8π5＋2k π，k ∈Z ，所以θ4＝2π5＋k π2，k ∈Z .当k ＝0,1,2,3时，θ4＝2π5，9π10，7π5，19π10且θ4∈[0,2π]．【答案】2π5，9π10，7π5，19π10三、解答题9．把下列角化为2k π＋α(0≤α＜2k π，k ∈Z )的形式： (1)16π3；(2)－315°.【解】 (1)16π3＝4π＋4π3.∵0≤4π3＜2π.∴16π3＝4π＋4π3.(2)∵－315°＝－315×π180＝－7π4＝－2π＋π4，∵0≤π4＜2π，∴－315°＝－2π＋π4.10.图1－1－5如图1－1－5已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求 (1)AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． 【解】 (1)∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB 的长为4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr＝12×4π×6＝12π，如题干图所示有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×∴S 扇形OAB －S △OAB ＝即弓形的面积是11，一列火车用每小时30 km 的速度通过，求火车10 s 转过的弧度数． 【解】 ，∴10 s ∴火车10 s 转过的弧度数 |α|＝l R ＝25032 000＝124.＝7×14＋2,100天后是星期三．。