初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;(2)若AD=1,BC=3,DC= 2 ,试判断△ DCF的形状;(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△ PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N.(1)如图25-1,当点M在AB边上时,连接BN. ①求证:△ ABN≌ △ADN;②若∠ ABC = 60°,AM = 4,求点M到AD的距离;(2)如图25-2,若∠ ABC = 90 °,记点M运动所经过的路程为x (6≤x≤12)试问:x为何值时,△ ADN为等腰三角形.3、对于点O、M,点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N,使OM=ON,且OM⊥ ON,这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动” .正方形ABCD和点P,P 点关于 A 左转弯运动到P1,P1关于B左转弯运动到P2,P2 关于C左转弯运动到P3,P3 关于D左转弯运动到P4,P4关于A左转弯运动到P5,⋯⋯.(1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1 的位置;(2)P 两点的坐标为(0,4)、( 1 0三点的坐P由。
(3)以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系,并且已知点B 在第二象限,A、A4、如图 1 和 2,在 20×20 的等 QAC 的面积为 y.(1) 如图 1,当 Rt △ABC 向下平移到 Rt △A 1B 1C 1 的位置时,请你在网格中画出 Rt △A 1B 1C 1关于直线 QN 成轴对称的图形;(2) 如图 2,在 Rt △ABC 向下平移的过程中,请你求出 y 与 x 的函数关系式, 并说明当 x 分别取何值时, y 取得最大值和最小值?最大值和最小值分别是多 少? (3)在 Rt △ABC 向右平移的过程中,请你说明当 x 取何值时, y 取得最大值和 最小值?最大值和最值分别是多少?为什么?5、如图①,△ ABC 中, AB=AC ,∠ B 、∠C 的平分线交于 O 点,过 O 点作 EF ∥BC 交 AB 、 AC 于 E 、F .(1) 图中有几个等腰三角形 ?猜想: EF 与 BE 、CF 之间有怎样的关系,并说 明理由.(2) 如图②,若 AB ≠AC ,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗 ?如果有, 分别指出它们.在第 (1) 问中 EF 与 BE 、CF 间的关系还存在吗 ?(3) 如图③,若△ ABC 中∠ B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O ,过 O 点作 OE ∥BC 交 AB 于 E ,交 AC 于 F .这时图中还有等腰三角形吗 ?EF 与 BE 、CF6、已知,如图,△ ABC 中,∠ BAC=90°,AB=AC,D 为 AC 上一点,且 ∠ BDC=12°4 ,延长 BA 到点 E ,使 AE=AD,BD 的延长线交 CE 于点 F , 求∠ E 的度数。
距网格(每格的宽和高均是 1 个 单位长)中, Rt △ABC 从点 A 与 点 M 重合的位置开始,以每秒 1 个单位长的速度先向下平移, 当 BC 边与网的底部重合时,继续 同样的速度向右平移,当点 C 与点 P 重合时, Rt △ ABC 停止 移7、如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,将一三角尺的直角顶点放在点O处,让其绕点O旋转,三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点 E 和 F 通过观察或测量OE,OF的长度,你发现了什么?试说明理由。
1、解:(1)证明:∵ EF=EC,∴∠ EFC=∠ECF,∵EF∥AB,∴∠B=∠EFC,∴∠ B=∠ECF,∴梯形ABCD是等腰梯形;1 (2)△DCF是等腰直角三角形,证明:∵DE=EC,EF=EC,∴EF= 1 CD,2 ∴△CDF 是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形),∵梯形ABCD是等腰梯形,∴CF= 1(BC-AD)=1,∵DC= 2 ,∴由勾股定2 理得:DF=1,∴△DCF是等腰直角三角形;(3)共四种情况:PB=1,PB=2,PB=3- 2 ,PB=3+ 22、证明:(1)①∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠1=∠2.又∵ AN=AN,∴△ ABN≌△ ADN.②解:作MH⊥DA交DA的延长线于点H.由AD∥BC,得∠ MAH∠= ABC=60°.在Rt△AMH中,MH=A?Msin60 °=4×sin60 °=2 3.∴点M到AD的距离为 2 3.∴ AH=2.∴DH=6+2=.8(2)解:∵∠ ABC=90°,∴菱形ABCD是正方形.∴∠CAD=4°5 .下面分三种情形:(Ⅰ)若ND=N,A 则∠ADN=∠NAD=4°5 .此时,点M恰好与点 B 重合,得x=6;(Ⅱ)若DN=D,A 则∠DNA=∠ DAN=4°5 .此时,点M恰好与点C重合,得x=12;(Ⅲ)若AN=AD=,6 则∠ 1=∠2.∵AD∥BC,∴∠1=∠4,又∠ 2=∠3,∴∠ 3=∠ 4.∴CM=C.N ∴AC=6 2.∴CM=CN=AC-AN=6 2.-6故x=12-CM=12-( 6 2-6 )=18-6 2 .综上所述:当x=6 或12 或18-6 2 时,△ ADN是等腰三角形3、解:(1)用直尺和圆规作图,作图痕迹清晰;ABP1可看成是由△ ADP绕点 A 顺时针旋转90°而得.理由如下:在△ ABP1和△ ADP中,由题意:AB=AD,AP=AP1,∠ PAD=∠P1AB,∴△ ABP1≌△ ADP,又∵△ ABP1和△ADP有公共顶点A,且∠ PAP1=90°,∴△ ABP1可看成是由△ ADP绕点A顺时针旋转90°而得;(3)点P(1,1)关于点A(0,4)左转弯运动到P1(-3 ,3),点P1(-3 ,3)关于点B(-4 ,4)左转弯运动到点P2(-5 ,3),点P2(-5 ,3)关于点C(-4 ,0)左转弯运动到点P3(-1 ,1),点P3(-1 ,1)关于点D(0,0)左转弯运动到点P4(1,1),点P4(1,1)关于点A(0,4)左转弯运动到点P5(-3 ,3),点P5与点P1重合,点P6与点P2重合,,点P2009的坐标为(-3 ,3)点P2010的坐标为(-5 ,3).4、解:(1)如图1,△ A2B2C2 是△A1B1C1 关于直线QN成轴对称的图形;(2)当△ ABC以每秒 1 个单位长的速度向下平移x 秒时(如图2),则有:MA=x,MB=x+4,MQ=2,0y=S 梯形QMB-C S △AMQ-S△ABC1 1 1= 4+20)(x+4)- × 20x- × 4× 42 2 2=2x+40(0≤x≤16).由一次函数的性质可知:当x=0 时,y 取得最小值,且y 最小=40,当x=16时,y取得最大值,且y 最大=2×16+40=72;(3)解法一:当△ ABC继续以每秒 1 个单位长的速度向右平移时,此时16≤x≤32,PB=20-(x-16 )=36-x ,PC=PB-4=32-x,111∴ y=S 梯形BAQ-P S △CPQ-S △ ABC= (4+20)(36-x )- ×20×(32-x )- ×4×4 222 =-2x+104(16≤x≤32).由一次函数的性质可知:当x=32时,y取得最小值,且y 最小=-2 ×32+104=40;当x=16时,y取得最大值,且y 最大=-2 ×16+104=72.解法二:在△ ABC自左向右平移的过程中,△QAC在每一时刻的位置都对应着(2)中△ QAC某一时刻的位置,使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.因此,根据轴对称的性质,只需考查△ ABC在自上至下平移过程中△ QAC面积的变化情况,便可以知道△ ABC在自左向右平移过程中△ QAC面积的变化情况.当x=16 时,y 取得最大值,且y 最大=72,当x=32 时,y 取得最小值,且y 最小=40.5、解:(1)图中有 5 个等腰三角形,EF=BE+C,F ∵△ BEO≌△ CFO,且这两个三角形均为等腰三角形,可得EF=EO+FO=BE+;CF(2)还有两个等腰三角形,为△ BEO、△ CFO,如下图所示:∵ EF∥BC,∴∠ 2=∠3,又∵∠ 1=∠2,∴∠1=∠3,∴△ BEO为等腰三角形,在△ CFO中,同理可证.∴EF=BE+CF存在.(3)有等腰三角形:△ BEO、△ CFO,此时EF=BE-CF,∵如下图所示:OE∥BC,∴∠ 5=∠6,又∠ 4=∠5,∴∠ 4=∠ 6,∴,△ BEO是等腰三角形,在△ CFO中,同理可证△ CFO是等腰三角形,此时EF=BE-CF,6、解:在△ ABD和△ ACE中,∵AB=AC,∠DAB=∠CAE=90°AD=AE,∴△ ABD≌△ ACE(SAS),∴∠ E=∠ ADB.∵∠ ADB=180°- ∠BDC=18°0 -124°=56°,∴∠ E=56°.7、解:OE=O.F证明:正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∴OA=O,B ∠ OAB=∠OBE=4°5 ,AC⊥ BD.∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°,∴∠ AOF=∠EOB.在△ AOF和△ BOE中∠OAB=∠OBE,OA=O,B ∠ AOF=∠ EOB,∴△ AOF≌△ BOE (ASA).∴OE=O.F。