乘法公式的拓展及常见题型整理一.公式拓展:拓展一：a2 b2=(a b)2— 2ab a2 b2=(a -b)2 2ab2 2 2 2 2 2 拓展二：(a b) —(a—b) =4ab a b a-b i；=2a 2b拓展三：a2 b2 c2 =(a b c)2 _2ab _2ac _2bc拓展四：杨辉三角形拓展五：立方和与立方差二.常见题型：(一)公式倍比2+b2例题：已知a b=4,求a b ab。

2(⑴如果a _b =3,a _c = 1，那么(a -b f +(b -c )2+ (c -a f 的值是__________________1 2i 2⑵ x y =1，贝U —x xv - V =2 22 + 2⑶已知口x(x _1) _(x2 _ v) = -2,贝卩-———-xy= _________2(二)公式组合例题：已知(a+b) 2=7,(a-b) 2=3, 求值：(1)a 2+b2 (2)ab⑴若(a—b)2=7, (a+b)2 =13, 则a2十b2 = _______________ , ab = _________⑵设(5a+ 3b) 2= (5a—3b) 2+ A，贝U A= _________⑶若(x - y)^ (x y)2 a，贝U a为_____________________⑷如果(x-y)2• M =(x y)2，那么M等于_____________________⑸已知(a+b) 2=m (a —b) 2=n,贝U ab 等于____________2 2⑹若(2a -3b)=(2a 3b) N，则N的代数式是_______________⑺已知(a • b)2=7,(a -b)2=3,求a2 b2 ab 的值为___________________ 。

⑻已知实数a,b,c,d 满足ac bd=3, ad-be = 5，求(a2 b2)(c2 d2) (三)整体代入例1: x2 - y2 = 24 , x • y = 6，求代数式5x 3y 的值。

1 、例1：已知xx= 2,求:Oa$；(2)a 41 1F (3)a — a2例 2：已知 a — 7a +1 = 0.a 2\2a — 的值;a⑴已知x 「3x 「1 = 0，求①4=x⑵若x 2 —19x 4v x +1=0，求 ;1的值为1 1 1 222x + 20, b= x + 19, c= x + 21,求 a + b + c — ab — be — ac 的值 020⑴若 x —3y =7, x 2 _9y 2 =49，贝y x +3y =⑵若 a • b =2，则 a 2 -b 2 4b= ___________ 若 a • 5b = 6，则 a 2 5ab 30b = _________a 亠b⑶已知a 2+ b 2=6ab 且a > b > 0，求的值为 _____________a —b⑷已知 a 二 2005x 2004， b = 2005x 2006， e 二 2005x 2008，则代数式a 2b 2 • e 2 -ab -be -ca 的值是 _____________________ .(四) 步步为营例题：3 (2 2 +1) (2 4+1) (2 8+1) ( 216 +1)6(7 1) (7 2+1) (7 4 +1) (7 8+1)+1a —b a b 2 a 2 b 4 a 4 b 8 a 8 b20122 -20112 20102 -2009222 -12 1 ±_丄 〔_丄 … — 1 2八一云八42丿「歸丿(五) 分类配方例题：已知 m 2 ■ n 2 -6m 10n ■ 34 = 0，求 m ，n 的值。

⑴已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，贝U x+y+z 的值为 _____________ 。

1 1⑵已知x2+y2-6x-2y+10=0，则1-的值为 ________________ 。

x y⑶已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式x 2003 - y 2004的值为 _________________________ .⑷若x 2 y 2 4x _6y 130 ，x ，y 均为有理数，求 x y 的值为⑸已知a+b+6a-4b+13=0,求(a+b)的值为 ______________⑹说理：试说明不论x,y 取什么有理数，多项式x 2+y 2-2x+2y+3的值总是正数.(六) 首尾互倒例2：已知a= 20(七) 知二求一例题：已知a - b =5,ab =3 ,22222⑷若 x+y=12,xy=4,则(x-y) = ___________ .a +b =7, a-b=5，则 ab= ___________2 2⑸若 a b =3, ab =-4，贝U a-b= ________⑹已知:a+b=7,ab=-12,求①a 2+b 2= _________ ②a 2-ab+b 2= _____ ③(a-b) 2= ______⑺已知 a + b=3, a 3 + b 3=9，则 ab= _____ , a 2+b 2= __ , a- b= _________第五讲乘法公式应用与拓展【基础知识概述】一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2— b 2完全平方公式：(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2变形公式：(1) a 2 • b 2 二 a b ：［ -2ab2 2 * 2(2) a b = a -b 2ab⑶如果a 12 1 -=2 ,那么 a - p = _____ 2ax1=5 、已知 xx 那么x⑷已知1卩的值是且 0<a<1,求 a — 11的值是a1⑹已知a 2— 3a + 1 = 0 .求a 和a1 2 1⑺已知x 3，求①x 2 =xx a —a 2 ^2的值为a2 1⑻已知a — 7a + 1 = 0 •求a 亠一、41②x4=x1 2 a 的值;a求：①a 2 b 22-b 2④—- ⑤ a 2 _ ab b 2b⑥ a 3 b 3⑴已知m5=2⑵若 a 2+2a=1 则(a+1) 2=___2 2⑶若a b =7, a+b=5,则,mn = -2，贝y(1-m)(1- n)=ab=2 2若 a b =7, ab =5 ,则 a+b=(a-b) =a 2-2ab+b 2/ 、 2 2 2 2(3) a b j 亠[a -b 2a 2b2 2(4) a • b i [a -b 4ab二、思想方法：①a、b可以是数，可以是某个式子；②要有整体观念，即把某一个式子看成a或b,再用公式。

③注意公式的逆用。

2④a》0o⑤用公式的变形形式。

三、典型问题分析：1、顺用公式：例1、计算下列各题：① 3(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)( 216+1)+12、逆用公式:例 2.① 19492-1950 2+19512-1952 2+……+20112-201221 220102③1.23452+0.76552+2.469 X 0.7655【变式练习】填空题：①a2+6a+ _____ =② 4x2+1+ _= ( ___________________ )26. x+ax+121是一个完全平方式，则a为( )A . 22B . - 22C .土22D . 03、配方法：例3.已知：x2+y2+4x-2y+5=0，求x+y 的值。

【变式练习】1 1①已知x2+y2-6x-2y+10=0，求一-—的值。

x y②已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。

③当x二_____ 时，代数式x2取得最小值，这个最小值是_________当x= ______ 时，代数式x24取得最小值，这个最小值是________2当x= _____ 时，代数式(X-3)+4取得最小值，这个最小值是_____________ 当x = ______ 时，代数式x2 -4x -3取得最小值，这个最小值是 ___________对于-2X 2 -4x-3呢？4、变形用公式：2例5.若(X —Z ) —4(x —y X y —z )= 0 ,试探求x+z 与y 的关系。

2 2例6 •化简：a ，b ・c ・d]4[a ・b-c-d例7.如果3(a 2 b 2 c 2^(a b c)2，请你猜想：a 、b 、c 之间的关系，并说明你的猜 想。

完全平方公式变形的应用练习题2 21 已知 m +n -6m+10n+34=0，求 m+n 的值2、已知x 2 • y 2 • 4x -6y • 13 = 0 , x 、y 都是有理数，求x y 的值1 •已知(a -b) =5,ab =3求(a b)2与 3(a2 b 2)的值2 22 .已知 a • b =6,a-b =4求 ab 与 a • b 的值。

3、已知 a ^4,a 2 b^4求 a 2b 2与(a-b)2 的值4、已知(a+b)2=60, (a-b)2=80,求 a 2+b 2及 ab 的值 5. 已知 a • b = 6, ab = 4，求 a 2b ■ 3a 2b 2 ab 2 的值。

6. 已知 x 2 • y 2 -2x - 4y • 5 = 0，求 3(x T)2 - xy 的值。

117 •已知X-—=6，求x 22的值。

xx1 1 8、X2 3x 1 = 0，求(1) x 2 -y (2)x 4 〒xx9、 试说明不论x,y 取何值，代数式x 2 y 2 6^4y 15的值总是正数。

10、 已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且 a,b,c 满足等式 3 a 2 b 2 C 2)= (a • b ,，请说明该三角形是什么三角形?B 卷：提高题、七彩题3 .已知 (a b)2=16,ab =4,求 a 2 b 2与(a -b)2的值1. (多题—思路题)计算：(1) (2+1) (2+1) (24+1)…(22n +1) +1 (n 是正整数);4016(2) (3+1) (32+1 ) (34+1 )…(32008+1 ) ---------222.(一题多变题)利用平方差公式计算： 2009 >2007—2008 .、知识交叉题 2x (x+2) + (2x+1 ) ( 2x — 1) =5 (x +3).三、实际应用题4.广场内有一块边长为 2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？课标新型题2231. (规律探究题)已知 x Ml,计算(1+x ) (1 — x ) =1 — x , ( 1 — X ) (1+x+x ) =1 — x ,(1 — x ) (?1+x+x 2+x 3) =1 — x 4. (1) 观察以上各式并猜想： ___________ (1 — x ) (1+x+x 2+…+x n ) =. (n 为正整数)(2) 根据你的猜想计算：2 345◎ ( 1— 2) (1+2+2 +2 +2 +2 ) = ______ . ②2+22+23+…+2n = ______ (n 为正整数).9998972 八3223@( a — b ) (a +a b+ab +b ) = _______ . 2.(结论开放题)请写出一个平方差公式，使其中含有字母m , n 和数字4.3•从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，？将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图 1 — 7—1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1 —7—2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴(1) 一变：利用平方差公式计算:200720072 - 2008 2006(2)二变：利用平方差公式计算:20072 2008 2006 13.(科内交叉题)解方程:@( x — 1) (x +x +x + …+x +x+1 ) = __________ . (3) 通过以上规律请你进行下面的探索： ®( a — b ) (a+b ) = ________ .22®( a — b ) (a +ab+b ) = _______ . 交流一下.4、探究拓展与应用24(2+1)(2 +1)(2 +1)=(2 — 1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 2- 1)(2 2+1)(2 4+1) =(24- 1)(2 4+1)=(2 8— 1). 根据上式的计算方法，请计算 364(3+1)(3 2+1)(3 4+1)…(332+1)-—的值.2“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部 求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路 清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析 如下，供同学们参考：1、 当代数式x 2 3x 5的值为7时,求代数式3x 2 • 9x - 2的值.3 3 3 22 22、 已知 a x-20 ,b x -18 ,c x -16，求：代数式 a b c- ab - ac - be8 8 8的值。