第十章 坐标系之间的换算
• §1 三维坐标系间的变换 • §2 二维坐标系间的变换 • §3 一维坐标系间的变换
§1 三维坐标系间的变换
地球坐标系统 表示方式
笛卡儿坐标
曲线坐标
平面直角坐标
坐标系 中心
地心
参心
站心
参 考 面
总地球椭球 参考椭球
地心大地 坐标系 参心大地 坐标系
大地体
天文 坐标系
投影平面

T
B B1 B2 Bn
X 0 Y0 Z 0 Y dK X Y Z

则误差方程 法方程
ˆL VX BY X ˆ BT PL 0 BT PBY X
Z
0 X
Y X i 0 X Yi Z i 0 Z i Yi
有
dB dX 1 1 da d L A d Y A C d dH dZ X X da A1 Y A1 Y A1C d Z Z T X 0 0 X A1 Y0 A1 Y dK A1 Z i Z Y Z 0 i Zi 0 Xi Yi X X X da X i Y A 1 Y A 1 Y A 1C d 0 Z Z Z
顾及
0 QX i Z X Yi Z i 0 Z i Yi
Zi 0 Xi
Yi X X i Y 0 Z
顾及全部七参数和椭球变化的广义大地微分公式为（见式10-78）
si nB cos L si nB si nL MH MH dB si nL cos L dL ( N H ) cos B dH ( N H ) cos B cos B cos L cos B si nL cos B MH X 0 0 Y 0 Z 0 si nB
如图所示，Pi在不同坐标系中的坐标
XT＝⊿X0＋(1＋dK)R( )X （10-28） ZT Z
P
式中 XT——Pi在坐标系OT —XTYTZT中的坐标向量
X——Pi在坐标系O —XYZ中的坐标向量
⊿X0——原点平移向量，⊿X0＝(⊿X ⊿Y ⊿Z)T dK——尺度变化系数 R( )——旋转矩阵
R( ) R( Z ) R( Y ) R( X ) cos Y cos Z cos Y sin Z sin Y cos X sin Z sin X sin Y cos Z cos X cos Z sin X sin Y sin Z sin X cos Y
dX dY dZ
顾及到
0 QX i Z Y
dB da A dL C d dH
Zi 0 Xi Yi X X i Y 0 Z
si nL cos L 0 X tan B cos L tan B si nL 1 Y 2 2 Ne si nB cos B si nL Ne si nB cos B cos L 0 Z Ne 2 si nB cos B M 0 dK N (1 e 2 si n2 B ) N M ( 2 e 2 si n2 B ) 2 e si nB cos B si nB cos B ( M H )(1 ) ( M H )a da 0 0 d N M 2 2 2 2 2 ( 1 e si n B ) ( 1 e si n B ) si n B a 1
N a
1 e 2 sin2 B
X B X L X H ( N H ) cos B sinL ( M H ) sinB cos L cos B cos L A Y B Y L Y H ( N H ) cos B sinL ( M H ) sinB sinL cos B sinL Z B Y L Z H 0 ( M H ) cos B sinB sinB cos L ( M H ) sinB sinL ( M H ) cos B ( M H ) 1 A se cB sinL ( N H ) se cB cos L ( N H ) 0 cos B cos L cos B sinL sinB
练习及作业：
1.阅读 §10.4 2.理解 ①理解不同空间直角坐标系 ②理解不同大地坐标系 ③各变换参数的意义
V T PV 3n 7
2 0
单位权方差
( 式中权阵 PL (ΣT Σ)1 )
X
二、不同大地坐标系间的换算
不同大地坐标系间的换算除了具有原点平移、欧勒角、尺度比七个转换参数，还 有两个系统采用不同椭球产生的两个地球椭球转换参数。不同大地坐标系统的换算 公式又称大地坐标微分公式。介绍大地坐标换算的布尔莎公式如下。 X，Y，Z是B，L，H，a， 的函数，全微分有
当根据多个公共点按最小二乘法求解转换参数时，对每个点有观测方程 X 0 Y 0 XT X i 1 0 0 X i 0 Zi Yi Z 0
i YTi Yi 0 1 0 Z Z T i i 0 0 1 Yi Zi Zi Yi 0 Xi X i d K 0 X Y Z
[ M (1 )] sin2 B cos B cos L X a X ( N a ) cos B cos L 2 C Y a Y ( N a ) cos B sinL [ M (1 )] sin B cos B sinL Z a Z ( N a )(1 e 2 ) sinB [ M (1 )] sinB(1 cos2 B e 2 sin2 B
Yi Xi 0
T
设
LX i X Ti X i YTi Yi ZTi Z i
1 0 0 Bi 0 1 0 0 0 1 Xi Yi Zi 0 Zi Yi Zi 0 Xi
LX LX1

LX 2 LX n
地心空间 直角坐标系 参心空间 直角坐标系 割平面空间 直角坐标系 法线测量 坐标系 垂线测量 坐标系
高斯平面 直角坐标系
导弹发射 坐标系
一、不同空间直角坐标系的换算
参心←→参心空间直角坐标系间（如：克氏椭球←→IAG75椭球） 参心←→地心空间直角坐标系间（如：克氏或IAG75椭球←→WGS-84椭球） 三个变换公式（布尔莎、范士、莫洛金斯基）对于坐标换算而言等价，推导布 尔莎公式如下：
误差和欧勒角本身数值属同一数量级时，可以近似地这样处置。此种情况在国内外
一些坐标换算中屡见不鲜，如北美坐标系相对于地心坐标系的三参数是X0=-22m，Y0 ＝157m，Z0=176；欧洲坐标系相对于地心坐标系的三参数是X0＝-84m，Y0＝-103m，
Z0＝-127m等。我国地心坐标系转换参数（DX-1）也属三个转换参数。
Z
O OT XT X
Y X
Y
YT
sin X sin Z cos X sin Y cos Z sin X cos Z cos X sin Y sin Z cos X cos Y
当已知转换参数⊿X0、dK、R( )时，可按上式将Pi点的X坐标系坐标换算为 XT坐 标系的坐标。 按最小二乘原则求解转换参数⊿X0、dK、R( )如下。 因旋转角 很小，有sin 和cos1，若忽略 二阶微小量，则旋转阵
1 R( ) Z Y
Z
1 X
Y 1 0 0 0 X 0 1 0 Z 1 0 0 1 Y
Z
0 X
Y X E Q 0
代入（10-28）式，忽略二阶微小量dKQXi得 XTi＝⊿X0＋R()dKXi＋R()Xi ＝⊿X0＋(E＋Q)dKXi＋(E＋Q)Xi ＝⊿X0＋dKXi＋Xi＋QXi
则（10-28）式为
Xi X 0 X i 0 Yi Y0 Yi d K Z i Z Y i T Z 0 Z i i Zi 0 Xi Yi X X i X i Y Yi 0 Z Z i
X 0 da A1 Y0 A1dKB A1QB A1C d Z 0
上式中
X ( N H ) cos B cos L B Y ( N H ) cos B sinL Z [ N (1 e 2 ) H ] sinB
（此即用于两空间直角坐标系相互变换的布尔莎七参数公式） 若上式中X＝Y＝0，Z≠0，则上式为五参数转换模型。若再有Z＝0，则上式为 四参数转换模型。若尺度比参数亦为零，则得三参数转换模型 Xi X 0 X i Y Y i 0 Yi Z i T Z 0 Z i 三参数转换公式是在假设两坐标系间各坐标轴相互平行，即轴系间不存在欧勒 角的条件下导出的，这在实际情况中往往是不可能的。在欧勒角不大，求得欧勒角