2、位势法计算式： ij = cij - ui – vj

四、方案调整
B1 B2 B3 10 4+1 8 1-1 （-1） +1 3-1 B4
产量
7 4 9 20
3 11 最小偶点原则， 3 A1 （1） （2） 确定出基变量和 1 2 调整量 9 A
2
3
（1）
A3
7
4 （10）
5 6 （12） 最小检验数
位势法：设产地Ai对应的位势量为ui ，销地 Bj对应的位势量为vj， 检验数ij =cij –ui-vj。

三、最优性检验
B1 B2 11 9 3 7 3 v1 4 6 6 v2 5 v3 6 v4 10 3 4 1 2 1 5 3 8 B3 B4 10 3 产量 ui
A1
A2
3
7
4
u1
u2
A3 销量 vj
一、运输问题模型及其求解思路
我们关心的量均在运价表和运量表中，
故将两表和为作业表：
B1 B2 4 x11 6 x21 150 5 x22 150 x12 5 x23 200 6 x13 B3 产量 6
A1 A2
销量
200 300
一、运输问题模型及其求解思路
表上作业法的总体思路和单纯形法类似：
一、运输问题模型及其求解思路
B1 A1 A2 销量 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
一、运输问题模型及其求解思路
2、产销平衡运输问题模型的特点 从模型的建立可知：
列数为2（产地数）×3（销地数）＝6；
行数为2（产地数）+3（销地数）＝5；
二、确定初始基本可行解
为保证基变量的个数有m+n-1个，注意： 1、每次填完数，只能划去一行或一列，只有 最后一个格子例外。 2、用最小元素法时，可能会出现基变量个数 还差两个以上但只剩下一行或一列的情况， 此时不能将剩下行或列按空格划掉，应在剩 下的空格中标上0。（退化的基本可行解）

二、确定初始基本可行解

练习题
已知如下运价表，用表上作业法求解：
产销地 A1 A2 A3 销量 B1 6 4 7 2 B2 5 4 6 4 B3 3 7 5 3 B4 4 5 8 4 产量 4 6 3 13
初始解对应目标值为 3×3+4×1+4×2+4×4+8×3＝61
产销地 B1 6 4 7 2 3 (3) 5 4 6 B2 (2) 3 7 5 B3 3 4 5 8 4 4 B4 1 产量 ui 0 1 4
10
3
销量
3
6 原则，确定 6 5
进基变量
四、方案调整

得到新的基变量：x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3。重新计算检验数。
B1
A1 3
B2
B3
B4
产量ai
7 4
A2
A3 销量bj
1
7
11 3 10 （0） （2） 5 2 9 2 8 3 1 （2） （1） 4 10 5 （9） 6 （12） 3 3 6 5 6

如上例中的最优方案就不唯一：
B1 B2 B3 B4 产量ai 7 4 9 20
11 3 10 +2 （0） （2） 5 2-2 A2 1 9 2 8 3-2 1 +2 （2） （1） A3 7 4最小偶点为出基 10 5 检验数为0 （9） 6 （12） 3 者进基 变量和调整量 3 6 5 6 销量bj

五、运输问题的几种特殊情况
3、退化情况

一个或多个基变量等于0。
思考：运输问题是否存在无界解情况？
第七章 运输问题 之表上作业法
一、运输问题模型及其求解 思路 二、确定初始基本可行解 三、最优性检验 四、方案调整 五、几种特殊情况
一、运输问题模型及其求解思路
1、问题的提出： 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三
个销地B1、B2、B3。 各产地的产量、各销地的销量和各产地 运往各销地每件物品的运费如下表所示。 问：应如何调运可使总运输费用最小？
B4
4 0 (2) 4 4
产量
4
ui
0 1 2
A2
A3 销量 vj
6
3 13
五、运输问题的几种特殊情况
1、多个最优方案的情况：
若最优表中有非基变量的检验数为0，则为多 个最优方案的情况。 这种情况下，可将检验数为0的非基变量作为 进基变量，即可得到另一个最优方案。

五、运输问题的几种特殊情况
A1
3
五、运输问题的几种特殊情况
得到另一个最优方案： x11 = 2, x13 = 5, x21 = 1, x24 = 3, x32 = 6, x34 = 3, 其余 xij = 0； 最优值仍然为 f* = 85

五、运输问题的几种特殊情况
2、无解情况：
当某个产地Ai不能向某个销地Bj供应产品时， 设相应的运费为M（类似于大M法），然后 求最优解。 在最优解中，若相应xij的取值为0 ，则此最优 解为原问题的最优解；若xij的取值不为0，则 原问题无解。
基本可行解
是否最优解
是
结束
否
换基
每个步骤 都充分利 用运输表 的特点
一、运输问题模型及其求解思路

例：某食品公司下属的A1、A2、A3 ，3个厂 生产方便食品，要运输到B1、B2、B3、B4 ， 4个销售点，数据如下表，求最优运输方案。 A1 A2 A3 销量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产量 7 4 9 20
9
20
四、方案调整
经过一次基变换，所有ij ≥ 0，已得到最优解： x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3， 其它为0。 最优值： f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85

四、方案调整
闭回路调整法步骤： 1、入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽 快减少） 2、出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回 路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将 其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个 基变量出基，其它基变量都为正）

四、方案调整
即求=Min{xij闭回路上的偶数顶点的xij}= xpq。那么确定xpq为出基变量，为调整量； 3、换基调整：对闭回路的奇数顶点运量调整 为：xij+，对各偶数顶点运量调整为：xij-， 特别 xpq-=0，xpq变为非基变量。 重复以上步骤，直到所有检验数均非负，即 得到最优解。
再观察模型的系数矩阵：
一、运输问题模型及其求解思路
1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 200 300 150 150 200
前2行之和＝后3行之和
一、运输问题模型及其求解思路
对于产销平衡的运输问题，若产地为m
个，销地为n个， 则变量个数为m×n个，线性无关的约束 条件个数为m+n-1， 故基本解中的基变量个数为m+n-1。
一、运输问题模型及其求解思路
3、运输问题求解思路——表上作业法 由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果
直接使用线性规划单纯形法求解计算， 则无法利用这些有利条件。 人们在分析运输规划系数矩阵特征的基 础上建立了针对运输问题的表上作业法。

三、最优性检验
每一个非基变量都有唯一的闭回路
B1 A1 A2 3 11
B2 3
B3 10 4
B4 3
产量
7 4
1
3 7 3
9
4
2
1 10
8
5
A3
销量6Biblioteka 6 5 639
20
三、最优性检验
观察x24的闭回路： 若让第一个顶点非基变量x24的取值变为1， 为了保持产销平衡，其闭回路上的顶点运量 都要调整，基数顶点+1，偶数顶点-1。 上述调整使总的运输费用发生的变化为 8 – 10 + 3 – 2 ＝ -1 ，这就说明原方案还不是最优 方案，需要进行调整。
二、确定初始基本可行解
1、西北（左上）角法
每次找最西北角的元素，让其运输量尽
可能的满足一个约束条件。
二、确定初始基本可行解
B1 A1 A2 B2 3 B3 4 B4 产量 7 4 6 6
3
1
11
9
3
2
10 2
3 5 8
2
6
A3
销量
7
3
4
10
5
9
20
二、确定初始基本可行解
这样得到的初始基本可行解为： x11=3, x12=4, x22=2, x23=2, x33=3, x34=6，其 余均为0。 对应的总运费为： 3×3+4×11+2×9+2×2+3×10+6×5＝135
使目标函数值增加的数量。 运输问题中目标函数值要求最小化，因 此，当所有的检验数都大于或等于零时 该调运方案就是最优方案；否则不是。 下面介绍两种计算检验数的方法：
三、最优性检验
1、闭回路法 闭回路：在已给出基本解的运输表上，从一 个非基变量出发，沿水平或竖直方向前进， 只有碰到基变量，才能向右或向左转90o (当 然也可以不改变方向）继续前进。 这样继续下去，总能回到出发的那个非基变 量，由此路线形成的封闭曲线，叫闭回路。