向量的平行与垂直
一、基础知识回顾：
1．平行向量定义：①方向 或 的非零向量叫平行向量，向量a 、b 平行，记作a ∥b
；
②规定：0
与任一向量 ； ③共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.
2. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件：有且只有一个实数λ，使b =λa
.
（等价于：存在两个不同为零的实数λ1、λ2，使得).21=+λλ
3. 非零向量和的数量积的定义：²= （向量和的夹角为θ）
4. 非零向量和垂直的定义：如果两个非零向量和 ，则说和垂直，记作⊥
5.非零向量垂直的充要条件：符号语言：⇔⊥
坐标语言：设→
a =(x 1,y 1), →
b =(x 2,y 2)，则⇔⊥b a
6. 向量共线的充要条件：符号语言：⇔//b =λa （a
≠，R ∈λ）
坐标语言：设→
a =(x 1,y 1), →
b =(x 2,y 2)，则⇔//
二、基础训练
1．与向量)4,3(-=a 垂直的单位向量是_________ _____. 2．与向量)4,3(-=平行的单位向量是_______ _______.
3．若D B A e e CD e e CB e k e AB e e ,,,2,3,2,,21212121若已知是两个不共线的向量-=+=+=三点共线，则k =______________. 4．若的是则
b a y y
x x y x b y x a //),,(),,(2
1212211=== （ ）
A.充要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.既非充分又非必要条件
三、典型例题
例1．已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+ ，2v a b =-
，且//u v ，求实数x 的值。
例2．已知).1,2(),0,1(==b a （1）求|3|b a
+； （2）当k 为何实数时，k -a b 与b a 3+平行， 平行时它们是同向还是反向？. （3）当k 为何实数时，k -a b 与b a
3+垂直？.
例3．已知点)5,4(),2,1(),0,0(B A O 及t ⋅+=,试问:
（1）当t 为何值时,P 在x 轴上? P 在y 轴上? P 在第三象限?
（2）O 、A 、B 、P 四点能否构成平行四边形?若能,则求出t 的值.若不能,说明理由.
例4.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：)(b a -⊥c ；（2）若1||>++c b a k
)(R k ∈，求k 的取值范围.
四、课后作业 班级 姓名
（ ）1．如果)4,1()3,22(++=--=x x b x a 与互相垂直，则实数x 等于
A ．
2
1 B ．
2
7 C ．
21或2
7
D ．
2
7
或－2 （ ）2．三点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)共线的充要条件是
A ．x 1y 2－x 2y 1=0
B ．x 1y 3－x 3y 1=0
C ．))(())((12131312y y x x y y x x --=--
D ．))(())((13121312y y y y x x x x --=-- （ ）3．已知为则且⋅==,2||,1||//
A ．2
B ．－2
C ．±2
D ．±3
（ ）4．非零向量、b a b a b a b a b -+=与则向量不平行于且满足,|,|||的位置关系是
A ．平行
B ．垂直
C ．共线且同向
D ．共线且反向 （ ）5．下列命题中正确的是
A ．若0,0==⋅b a b a 或则
B ．若b a b a //,0则=⋅
C ．若2)(,b a b a b a ⋅=⋅⊥则
D ．若||||,,b a b a b a =⋅则共线
（ ）6.向量→
AB ＝（3，4）按向量a =(1,2)平移后为 A 、（4，6） B 、（2，2） C 、（3，4） D 、（3，8） （ ）7．下面四个条件：
53=-=+且① ②)0(≠∈=b R b a 且唯一且λλλ
③),(2121R x x x x ∈=+ )0,(0=+∈=+y x R y x y x 且④
其中能使与共线的是
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
（ ）8. 在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是
A ．1.5
B ．－1.5
C ．5
D ． －5
9．已知.//,_______,______),3,4(),7,(x x x x 时时当===+== 10.设)3
1,(cos ),sin ,23(αα==b a ,且有b a //,则锐角=α 。
11．已知平行四边形ABCD 的三个顶点为A(－1,－2)，B(3,－1)，C(5,6)，则顶点D 的坐标
为__ ____.
12．给出下列命题： （1）如果;)R 0(b a b a =∈≠=那么，λλλλ （2）如果;),(=≠⋅=⋅那么 （3）如果与那么,0||||≠⋅-=⋅方向相反； （4）如果;,0⊥=⋅那么 （5）如果b a b a 与那么,0<⋅的夹角为钝角.
其中假命题是____________（将假命题的序号都填上）
13．已知在梯形ABCD 中，.),2//(),7,3(),2,3(),1,1(,//点坐标求若D AB BD AD C B A CD AB ----
14．已知平面内三个点A （1，7），B （0，0），C （8，3），D 为线段BC 上一点，且
D 求,)(⊥++点坐标.
B 组
（ ）1.已知k Z ∈，(,1),(2,4)==
AB k AC ，若AB ≤ 则△ABC 是直角三角
形的概率是 A ．
17 B ．27 C ．37 D ．47
2.有两个向量1(1,0)e = ，2(0,1)e = ，今有动点P ，从0(1,2)P -
开始沿着与向量12e e +
相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e + ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e +
相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +
．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥
时，t = 秒．
（ ）3.已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且
AP =t AB (0≤t ≤1)则OA ²OP 的最大值为
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12。