MRTS21
f1 f2
25
欧拉定理（Euler’s Theorem）。当 t 1 时，即 线性齐次生产函数时，产出等于各要素与其边
际产出的乘积之和：对式 fsxstfx 两边对s
求导，有
fisxx i tst 1fx
s t 1 fix x i tst 1 fx
fixxitfx
26
4
生产函数和生产可能性集
对于投入 xx1,x2，其最大产出为 f x1,x2 ，称
f x1,x2 为 x 投入的生产函数。而对任何
yfx1,x2 都是能达到的，称 y|yfx为生
产可能性集。显然，y f x 处于生产可能性集 的最上界，称为产出是有效率的（output efficient）或者技术上是有效率的（technical efficiency）。
10
得（用到其来等中表产示f i 为量投线入边的要际轮素产廓2量和线1fx的的ix相斜M互P率ii替为1,2代dd）xx12关。系 这ff，12 可。我以们
称其绝对值 f 1 f2
rate of technical
为边际技术替代率（marginal substitution）。我们用替代弹性
（elasticity of substitution）来刻画等产量线的
中级微观经济学
张军
1
第5讲 技术与生产函数
2
独特的生产函数
3
在古典的企业理论中，同前一章消费者理论一样，厂 商的行为视为基于某种最大化准则（利润最大化）的 选择结果。这使得两者在分析技术上有许多相似的地 方，差不多消费者理论的许多结论可以原封不动的移 植到厂商理论中，这一点使我们在下面的分析中带来 了方便。值得指出的是，与消费者效用理论相比，厂 商理论不存在类似的窘境，因为在最大化神龛的案前， 摆放的是“利润最大化”，而不是看不见、摸不着的 “效用”。当然，指责并不是没有，自科斯（Coase） 1937年的《企业的性质》文章以来，企业理论被大 大改写了。
y f sx
其中 s 表1 示生产规模变小， 生s产 1规模扩 大， 表示s生产1 规模不变，如上图与初始规
模 相比， x 0 分别表示生x 1产, x规2 模变小1/2、
扩大2倍。
19
用这种 s 表示规模的系数的变化率对产出 y 的 影响，即规模弹性来衡量规模报酬：
Edlnydy s dys dlns y ds ds y
20
考虑特殊情形。如果生产函数 y f x满足
fsxst fx
则称生产函数是 t 次齐次的，如果t 1，则称
为线性齐次（linear homogeneous）。齐次生产 函数有一些很好的性质：
21
（1）t 次齐次生产函数的规模弹性为t
Ed d y ss ydfd ssxfssxdstd fsxstfsxt
一常数。当 1 时，yAx1x2为线性生产函
数；当 趋近于零时，其边际技术替代
率数一MR样TS2；1 当aa12 x，x12 同柯布时-道，格其拉边斯际（技C术D）替生代产率函 MRTS21 具有里昂惕夫生产函数的性质。
16
CD 函数
补充
17
规模报函数
22
（2）线性齐次生产函数具有规模报酬不变的 性质
fxsix fssxx isxxiifisxs
23
t 次齐次生产函数边际产出具有t-1次齐次性。 显然，线性齐次生产函数的边际产出与规模无 关。
fisxsstfix
fisxst1fix
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（3）在投入比例不变的情况下，齐次生产函 数规模的变化不影响等产量线的斜率。
5
6
7
生产函数的性质： 单调性 凸性 技术替代率 替代弹性 规模报酬和规模弹性
8
单调性：生产函数曲线没有突然逆向变化的部 分出现；
凸性：如果x和x’可以生产出y，那么，tx+(1-t)x’ 也能生产出y。
9
边际技术替代率
同消费者选择理论一样，我们可以类似的定义 等产量线、边际技术替代率、替代弹性。我们 可以定义生产函数的轮廓线为等产量 线 f (x) y0 。两边微分得 f1dx1f2dx20
形状与投入比率的变化的关系：
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替代弹性 dd ln ln M xR 2T /x S 1 21d dx f1 2//x f2 1x f1 2//x f2 1
12
这是一个非常有用的概念，表示当产出保持不 变（即在等产量线上）时，等产量线的斜率的 变动对投入比率的影响。
不变替代弹性生产函数（CES）：
1
YAa1x1 a2x2
13
f1A1a1x1a2x2 11a1 x11
f2A1a1x1a2x2
11
a2
x21
1
MRTS21
a1 a2
x1 x2
14
dlndlnM TxxR12S21dlndaaln12xxxx121211dlndlxxn12xx1211
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CES生产函数有非常好的性质，其替代弹性是