b
a
f ( x)dx F ( x)
b a
F (b) F (a)
(定积分与不定积分的内在联系 )
基本积分表
(1) (2)
(3) (4)
(5)



k dx k x C (k是常数)，
1 m1 x C ， x dx m 1 1 dx ln |x|C ， x 1 dx arctan x C ， 2 1 x 1 dx arcsin x C ， 2 1 x cos x dx sin x C ，
基本求导公式：
(1) (C)0， (2) (xm)m xm1，
(11)
(12)
(13) (14)
(3) (sin x)cos x，
(4) (cos x)sin x，
(5) (tan x)sec2x，
(6) (cot x)csc2x， (7) (sec x)sec x tan x， (8) (csc x)csc x cot x， (9) (ax)ax ln a ，
f ' ( x) tan
在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度 矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导 数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分——速度矢量与加速度矢 量。
注意：以下是易混淆的两个表示：

y


和
y'
前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：
[f(x)g(x)]dx
f(x)dx g(x)dx．
性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子 可以提到积分号外面来，即
kf(x)dxk
f(x)dx (k 是常数，k 0)．
例4


x ( x 2 5)dx ( x 5 x )dx
5 x 2 dx
5 2
dy f ' ( x )dx
2. 不定积分 不定积分：对函数 y=y(x) ，如果在给定区间[a,b]上有
dy G ( x ) y' f ' ( x ) dx
则其逆运算就是求 G(x) 的不定积分（即：求 G(x) 的原函数）：
dy G( x)dx y 'dx dxdx dy y( x) C
求导法则 函数的和、差、积、商的求导法则： (1) (u v)=u v， (2) (Cu)=Cu (C是常数)， (3) (uv)=uv+u v， u uv uv (4) ( ) (v0)。 2 v v 反函数求导法： 1 1 [f (y)] (f (x)0)。 f ( x) 复合函数的求导法则： dy dy du ，或 yyuux ，其中 y=f(u)，u=(x)。 dx du dx
例2
dy y= e ，求 。 dx
x3
x3
解：函数 y e 是由 yeu ，ux3 复合而成， dy dy du u 2 x3 e 3x 3xe 。 dx du dx 2x dy 例3 y sin ，求 。 2 dx 1 x 2x 2x 解： y sin 是由 ysin u，u 复合而成， 2 2 1 x 1 x 2(1 x 2 ) (2 x) 2 dy dy du cos u dx du dx (1 x 2 ) 2
dy y dt ，当然加两点，则是对时间的二阶导数，即：

2 d y d dy d y y 2 dt dt dy d t

后者：永远是函数对自变量的导数。如对于函数y=y(x) ，则
dy y' dx
y 若自变量有多个，则应该用偏导， t 是函数y=y(x,t) (同时又 dy y x y ，对于多元 有x=x(t) )对时间的偏导。（注意： dt x t t dy y 函数，一般 ）。 dt t
1 2

1 5x 2 dx

5 x2
dx 5
1 x2
dx
2 3 10 2 x x x x C． 7 3 7 3 3 2 3 x 3x 3x 1 (x x 1 1) )3 ( 例例 95 dx dx 2 dx 2 2 x x x 3 1 (x 3 2 )dx x x 1 1 x dx 3 dx 3 dx 2 dx x x 1 2 1 x 3x 3 ln | x | C ． 2 x
上式中可以看出： G(x) （被积函数）的原函数为 y(x)+C，不 止一个。其中， C 为积分常数。
3. 定积分 由上面的不定积分,再加上一定的初始条件，被积函数的原函数 就是唯一确定的。
几何意义： 由 y=f(x) 的函数曲线，初始条件表示的直线，x 轴 所围成的曲边梯形的面积。 牛顿——莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula）： 若函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上连续，或分段连续，则 y=f(x) 在 [a,b]上有原函数，设 F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则
m
(6) (7)

cos x C ， sin x dx
基本积分表
(8) (9)

1 2 dx sec x dxtan xC ， 2 cos x 1 2 dx csc x dxcot x C ， 2 sin x
(10) (11) (12)
(13)
sec x tan x dxsec x C
7 2 x 2 5·
3 x 2 C
x x x ( 2 e ) 2 e xx xx x C C． 例 dx (2e ) dx 例11 6 22 ee dx 1 ln 2 ln( 2e)
1 x x x x22 1 (x x2 ) 1 例 dx dx 例12 7 dx 2 2 2 x x( (1 x x ) ) x(1 x ) 1 1 1 1 ( )dx dx dx 2 2 x x 1 x 1 x arctan x ln | x | C ．
复合函数的求导法则：
dy dy du ，或 yyuux 。 dx du dx
dy 例1 y=lntan x ，求 。 dx 解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，
dy dy du 1 sec 2 x cot x sec 2 x dx du dx u 1 。 sin x cos x
(15)
(10) (ex)ex，
(16)
1 ， (log a x) (a>0, a x ln a 1 (ln x) ， x 1 (arcsin x) ， 1 x2 1 (arccos x) ， 1 x2 1 (arctan x) ， 2 1 x 1 (arctan x) 。 2 1 x
微积分基础知识
1. 函数，导数与微分 函数：自变量，因变量，定义域，对应法则，值域等；函数的一 些基本性质（如连续性，对称性，周期性，奇偶性等），（基本）初 等函数等。 导数：设函数y=f(x)当自变量在点x处有一增量△x时，函数y相应 的有一改变量△y=f(x+ △x )-f(x)，那么当△x趋于零时，若比值△y/ △x的极限存在（为一确定的有限值），则这个极限为函数y=f(x)在点 x处导数，记作：
预备知识：函数
变量、常量和函数
现有相互联系的两个变量x和y，如果当x在其变域 内任意取一数值时，y都有确定的值与之对应，则 称y是x的函数。x叫做自变量，函数y又称作因变 量，写作： y = f （x ） 若y为z的函数，y =f（z）；而z又是变量x的函数， 即z = g（x），则称y为x的复合函数，记作 y = f（z）= f [g（x)]
dy y f ( x x ) f ( x ) y' f ' ( x ) lim lim dx x 0 x x 0 x
这时称函数y=f(x)在点x处是可导的。
导数的几何意义： 函数 y=f(x) 在 x 处的导数 f’(x) 等于 曲线 y=f(x) 在点x处的切线的斜率，即：
x4 ( x 2 1)( x 2 1) 1 x4 11 例8 dx dx dx 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 1 2 2 (x 1 )dx x dx dx dx 2 2 1 x 1 x 1 x 3x arctan x C ． 3

e x dx e 2C ，
x a a x dx C ， ln a
， ，
csc x cot x dx csc x C
(14)
(15)
sh x dx ch x C
ch x dx sh x C
，
．
不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分 的和，即
2(1 x 2 ) 2x cos 。 2 2 2 (1 x ) 1 x
微分：若函数 y=y(x) 的改变量可表示为：
y A( x )dx 0(dx )
式中dx=△x，则此改变量的线性主部A(x)dx称为函数y的微分， 记作：
dy A( x )dx
函数y=y(x)的微分存在的充分必要条件是：函数存在有限的导 数 y’=f’(x) ，这时函数的微分是：