s2
s3
s4
i
则（1.1式）变换为：
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s 4 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 u1 u a24 2 a34 u3 a44 u 4
第1章 杆件结构
1.1 直梁
左端A简支，右端D固定，B处承受集中力F、 弯距M作用，求其挠度？
分析步骤： Step 1、离散化 梁的特征？
将结构自然分为三段：AB、BC、CD。每一段内部有 相同的几何尺寸、无外载，可视作一个单位体（单元）， 各段内部特性（材料、几何）可与其他单元相互独立。
各段之间的交界截面可看作单元之间的连接节点，两 端支座A、D也可以看作节点。
（1.5)
e k • 回顾一下 元素的求解过程，任一元素都是在 si aij u j aij 对应于一个变形刚度。整个矩阵 k e的 状态下求出的，
物理意义就对应为一个刚度矩阵。
•
aij ，当节点 i 取单位位移，而其他节点位移为零时，对应
于节点 i 的节点力。
• 通常约定：单元的位移、节点力、刚度矩阵均按节点分组； 对每一节点的位移，节点力分量，再按 u x ,u y , u z , x , y , z 顺序排列。 其刚度矩阵节点子块则对应各分量排列。
若梁离散有n个节点，则对应有2n个节点位移、载荷 分量。全部节点位移记为 、全部节点载荷记为 ：

Q
f1 ,1 , f 2 , 2 ,........ f n , n
T
Q F1 , M 1 , F2 , M 2 ,........Fn , M n
i 和 j 处应受到力的作用，有节点
注意：节点力与截面载荷意义不相同！ 节点力指单元截面处的内力，为材料力学中的切向力 和弯距。 节点载荷为梁结构在节点处受到的外载荷。 节点力与节点载荷的正向取为一致。
与材料力学中的符号规定有异 ：
在线性弹性，小变形条件下，存在线性关系：
qi a11 m i a21 q j a31 m j a41
s1l 3 s 2 l 2 s 2 a 21 3EJ 2EJ
12EJ a11 最后求得： l3 6 EJ a 21 2 l
由单元的力矩平衡方程：
s3 s1
s 4 s1l s 2

a 31
12EJ l3
a 41
s1 a11u1 a12u2 a13u3 a14u4 s2 a21u1 a22u2 a23u3 a24u4
联立上述二方程组求解 （注意： s2 与变形定义有负号之差 ）
s1l 3 s 2 l 2 s1 a11 3EJ 2EJ
由所离散的全部单元刚度矩阵叠加而成。
单元刚度矩阵的特性：
a)、单元刚度矩阵为对称矩阵； b)、单刚元素表示单元发生某种单位节点位移时所对应的节 点力，反映出单元抵抗这种变形的能力——刚度； c)、对角元素总为正值 d)、奇异性，其行列式为零，物理意义代表单元有刚体运动 存在。
总体刚度矩阵的特性：
B：在单元刚度建立过程中，我们根据材料力学结果直 接导出单元刚度元素值，未引入新的理论与假设，是否 存在问题或不足？ 简要、明确地阐述了建立有限元方程的一种原始模 式，但是流程具有共通性。
C：在单元刚度矩阵的推导中，我们均未涉及结构载荷、 边界条件等； 在有集中载荷作用处，我们直接取为节点，集中载 荷均转化为节点载荷； 若是梁的一段上承受均布或者其他形式的连续分布 载荷，怎么处理？
（ ）
S2
e
j
取单元长度，弹性模量、截面惯性矩分别讨论如下：
Ⅰ 设 u1 1 、 ， 其物理意义相当于悬臂梁的变形：
参考材料力学中梁的变形公式：
s1l 3 s2l 2 u1 1 3EJ 2 EJ
s1l 2 s2l u2 0 2 EJ EJ
从（1.4）式中，可以得到一个联立方程（关 s 2 ）， 于 s1 、
上式即为初始形态的有限元方程
讨论：
A、上述有限元方程是在力系平衡条件下建立，力的平衡 条件自动满足； 导出单元刚度时，引入了材料力学中的力与变形的关 系，也就是物理关系满足： 力与变形中涉及到单元内的几何关系，同时单元节点 的位移相同，保证了变形的协调性； 这样弹性理论中的三个基本方程：力平衡、几何、物 理，均已近似满足！
或
Q2 p2 1 p2 2（1.6c)
由（1.6a）（1.6b）得：
p2 k21 1 k22 2 p2 2 k22 2 2 2 k23 2 32
1 1 1 1
1
注意：对于节点2，其位移是唯一的，否则各单元间 的变形不连续，
对于节点1、4，分别只有一个单元独有：
Q1 k11 11 k12 1 2
(1.6f)
Q4 k43 3 k44 4
3 3
(1.6g)
将（1.6d）～（1.6g）合并：
1 Q1 k11 Q 1 2 k 21 Q3 0 Q4 0 1 k11 1 2 k 22 k 22
Step4： 单元的组合
上一步中，我们导出了任一单元的刚度矩阵，从而确 定了单元内部的节点力，节点位移之间的定量关系。下面 讨论单元1、2之间的关系： 将单元1、2分解为：单元1，独立节点2，单元2三部 分，单元之间不直接联系，通过独立节点联系。
q1 2
2 1
q2 2
3
（ ）
m1 2 q2
m2 2
T
Step 3：单元弹性特征 当建立了 与 Q 的定量关系后，对于任一Q 就有 对应的 ，则问题就可以求解。
对任一单元e，建立节点位移与截面节点力之间的关 系。
e单元的节点位移 f i , i , f j , j ，
T
单元变形时，节点 T e p q , m , q , m 力 。 i i j j
i 。 任一节点 i 处的位移为 f i 、 换言之，任一节点 i 有两个自由度。规定 f i 向上为正， i 逆时针为正。 记： i 节点的位移为i ，
fi i i
对应于节点位移，有相应的节点载荷，也成为广义力：
Fi Qi M i
梁单元就转化为下图所示的计算模型。
含有3个单元，4个节点（注意要分别编号，不重复） 节点：单元之间的连接，本身是虚构的，而结构是连 续的，采用“结”或 “节”无实质区别。“结”强调了 单元之间的连接，而“节”则有所淡化，有虚拟之意。-文人嚼字
Step 2：节点位移描述
空间任一点有三个方向的运动，三个方向的转动，即 有6个位移量；平面上任一点则有二个位移和一个转动。 对于平面内变形的梁，为简化起见，引入材料力学的 平面假设：梁任一截面(节点)的变形只需中性面位移及其 绕中性面的转角就可确定。 梁受横向载发生变形时，各截面的位移只含截面中性 轴处的挠度及其截面的转角，无轴向位移。
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 fi a24 i a34 f j a44 j
（1.1)
p
e
k
e
e
(1.2)
k 代表了力与位移的关系，为一特定的物理意义，仿
Q K
（1.8)
Q 、 K 、 分别称为总节点力（载荷）列阵、总刚度矩
阵，总位移列阵。
矩阵，列阵的维数：
Q81
K 88
81
一般情况下，结构若含n个节点，则（1.8）含有2n个 方程，即为结构分析矩阵位移法的基本方程（力平衡方 程）。
K
等效节点载荷：从力的平衡等效原理出发，将连续分布载 荷等效变更为节点载荷。 根据圣维南原理，只是梁的局部受影响较大，而远离 区域几乎不受影响。
6 EJ 2 l
e
这样，由 u1 1 、其余等于0时，可以导出中 k 第一 列的元素。
Ⅱ 设 u 2 1 （1弧度），u 2 u3 u 4 0
其物理意义如下图，相当于左简支和右悬臂。同样由 梁的变形及平衡方程可以得到：
a12 a 32 6 EJ 2 l
a 22
2
k 23 2 k 33 3
2
2
（1.6b）
梁在静平衡状态下，节点2的节点力由两部分组成： 单元1的2节点上的反作用力、单元2的2节点上的反作用 力，则，独立节点2处于平衡状态条件为：
2 q 2 q1 q 2 2 1 2 m m m 2 2 2
e
弹簧变形规律，可定义为刚度矩阵。 存在另一种表达式：

R
e
e
R
e
p
e
（1.3)
称为柔度矩阵
e
本步的工作就是要给出 k 的具体表达式。为规范化 编制程序，对梁单元的节点位移、节点力另外编号：

e
u1 u2
e
u3
u4
T
S1
T
S3 S4
p
s1
Step 5： 建立定解
（1.8）式不能直接求解？ 源于总刚的奇异性。 结构存在刚体运动，为一类任意的、结构不发生变形 的刚体漂移。 • 根据边界的约束条件，确定出相应的节点已知位移； • 代入方程组中，化解降阶，消除总刚的奇异性； • 最后求解新方程组。
K Q
' ' '
（1.9）
4 EJ l
a 42