习 题 11 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21212121， ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0x ,x 124x 3x 2x 2x 2x 3x maxz )b (21212121⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8x 310x 512010x 6x x x maxz )c (212121⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T); (b)无可行解;(c)唯一解16*,)6,10(*==z X T); (d)无界解）2 用单纯形法求解下列线性规划问题。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=0x ,x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212121221 答案：(a)唯一解5.17*,)5.1,1(*==z X T)，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T; (b)唯一解5.8*,)5.1,5.3(*==z X T），5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥+++-=0x x x 0x 2x 2x 2x 6x x x 2x x 2x maxz )a (3,2,13231321321 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0x ,x ,x 62x 3x 82x 4x x x 3x 2x minz )b (32121321321 答案：(a)无界解；(b)唯一解8*,)0,8.1,8.0(*==z X T)，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。

表1-54 初始单纯形表表1-55基变量x 1列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0'1p ，所以g=1,h=0（2）初始表 ,,j p b 某步表j p B b B11,--有已知表查出⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-12/102/11B,341612/102/141=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-f f f b B201112/102/10111=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b b p B Θ5,42312/102/1221==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-i c i c i p B Θ2,21112/102/11131=-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-e d e d p B Θ （3）初始表主元行×（-主元检验数/主元）加到检验数行得下一步表的检验数行。

表1-54第一行系数×（-a/b ）+表1-54检验数行=表1-54检验数行即：0,21,2,712=-==+-=--l a k j a a故：0,23,5,3=-===l k j a 。

5某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，都分别经A 、B 两道工序加工。

设A 工序可分别在设备A 1或A 2上完成，有B 1、B 2、B 3三种设备可用于完成B 工序。

已知产品Ⅰ可在A 、B 任何一种设备上加工；产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。

加工单位产品所需工序时间及其他各项数据见下表1-56，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。

表1-56 产品的有关数据表6 一家糖果商店出售三种不同品牌的果仁糖，每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、胡桃仁。

为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的，如下表1-57所示：商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，使周利润最大。

建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。

7 写出下列线性规划问题的对偶问题。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≤++≥++++=无约束321321321321321x 0,x ,x 53x 4x x 33x x 2x24x 3x x 4x 2x 2x minz )a ( ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥+==<=≤=∑∑∑===)n ,,1n j (x )n n ,,1j (0x )m ,,1m i (b x a )m m ,,1i (b x a x c maxz )b (1j1j 1i n 1j j ij 1i n 1j j ij n1j jj ΛΛΛΛ无约束 答案： （a ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≤++++=ω无约束321321321321321x 0,x ,x 43x 3y 4y 24y y 3y2y 2y y 5y 3y 2y max （b ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥+==+<=≥++=ω∑∑∑∑∑∑=+==+=+==)m ,,1i (v )n ,,1i (0u )n ,...,1n j (c v a u a )n n ,,1j (c v a u a v b u b min 1i1i 1j m 1i m1m i iij i ij 1j m 1i m 1m i i ij i ij m1m i ii m 1i i i 111111ΛΛΛm m 无约束8 已知线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+-≤++-+=0x x x 1x x 2x 2x x x x x maxz 32132132121，，试应用对偶理论证明上述线性规划问题最优解为无界。

答案：显然T(0,0,0)X =为该问题的可行解， 其对偶问题为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+≥--+=0y y 0y y 1y y 12y y y y 2min 2121212121，ω显然第一个约束与变量非负要求矛盾，故对偶问题无可行解。

由无界性该问题最优解为无界。

9 已知线性规划问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤+++++=)4,,1j (0x )4(9x x x )3(6x x x )2(6x 2x )1(8x 3x x x x 4x 2x maxz j 321432214214321Λ 要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0)T ，试根据对偶理论求出对偶问题最优解。

答案： 对偶问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+≥++≥+++≥+++++=)4,,1j (0y (4)1y y (3)1y y (2)4y y y 3y (1)2y 2y y 9y y 66y 8y min j 314343214214321Λω 设对偶问题的最优解为),,,(*4*3*2*1*y y y y Y=将X *=(2,2,4,0)T 代入原问题，约束（4）为严格不等式（即x *S1，x *S2，x *S3）0），由互补松弛性，y *4=0。

又因为x *1 =2,x *2 =2,x *3 =4都大于0，由互补松弛性，对偶问题对应（1）--（3）约束为等式，（即y *S1= y *S2 =y *S3=0）故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+(3)1y (2)4y y 3y (1)22y y ****1*2*3321， 解得对偶问题的最优解为)0,1,5/3,5/4(*y Y =。

10 已知线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+++-=0x ,x ,x 42x x 6x x xx x 2x maxz 32121321321先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况最优解的变化。

（1）目标函数变为321x 3x 2x m ax z ++=； （2）约束右端项由⎥⎦⎤⎢⎣⎡46变为⎥⎦⎤⎢⎣⎡43；（3）增添一个新的约束条件：22x x 31≥+-。

答案：该问题的最优解TX )10,0,0,0,6(*=，最优值1262*=⨯=z 对偶问题的最优解)2,1,3,0,2(*=Y ，最优值1226*=⨯=ω （1）目标函数中非基变量2x 的系数2c 由-1变为3 重新计算2x 的检验数2σ0131)02(3'22>=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=jB pC c σ最优解发生变化，将2x 的检验数12=σ，系数3c 2=代入最终表，用单纯形法求解之，见下表该问题的最优解TX )0,0,0,3/10,3/8(*=，最优值3463103382*=⨯+⨯=z对偶问题的最优解)3/4,0,0,3/1,3/7(*=Y ,最优值346314376*=⨯+⨯=ω（2）037324331313132'1>⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-b B ，故最优基不变最优解为TX )0,0,0,3/7,3/2(*=，最优值325373322*=⨯+⨯=z （3）最优解TX )10,0,0,0,6(*=不满足新加的约束 将约束化为等式，选松弛变量作为基变量得-2x 2x x 631=+-将其添加到最终表得过渡表，然后将第一行乘-1加到第三行将基变量x 1的系数列向量化为单位向量新的最优解T X )3/22,0,3/8,0,3/10(*=，最优值328332*=+⨯=z11 用分支定界法求解下列整数规划问题：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=，且为整数，0x x 369x 4x 357x 5x 3x 2x maxz 21212121 (2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=且为整数,0x ,x 305x 6x 165x 2x x x maxz 2121212112 用隐枚举法求解下列0-1规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥-+-≤++≤+++++--+=)5,,1j (10x 35x 3x 6x 11x 83x 4x -3x 7x 4x 2x x x x 3x 2x 5x 2x 3x maxz j 542154315432154321Λ或 x j =0 或1，j = 1，2，3，4，513 某航运公司承担六个港口城市A 、B 、C 、D 、E 、F 的四条固定航线的物资运输任务已知各条航线的起点、终点城市及每天航班数见表1-59。

假定各条航线使用相同型号的船只，又各城市之间的航程天数见表1-60。

又知每条船只每次装卸货物的时间各需1天，则该航运公司至少应配备多少条船,才能满足所有航线的运货需求? 建立模型并用软件求解。