常用的数学思想方法(共6个课时）——配方法
数学除了是一门科学理论外，它应该还是一门科学方法。

常用的数学思想方法，是针对不同的数学知识而定的一种策略，是解决数学的工具。

不同的问题可以用不同的方法，相同的问题也可以有用不同的方法。

各种数学方法与数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富，并且是数学知识所不能替代的。

从广义上来说，数学最主要的方法只有归纳法和演绎法两种。

归纳法是从特殊到一般，从个体案例总结出规律：演绎法是从一般到特殊，根据前人成果指导演算论证。

现在我们把在初中阶段已经学过的，在高中阶段还要继续学习的一些主要的数学方法作一个小结，是我们认识数学思想方法及其重要性，从而从整体上把握数学，一致灵活的运用数学。

今天我们主要学习配方法。

在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方，完全立方等，从而再利用诸如完全平方项非负等性质，达到解决数学问题的目的。

配方法主要用在多元代数式求值，无理式的证明或解方程等方面。

一．例题部分
例1．已知x ，y ，z 都是正数且满足x+y+z=6，xy+yz+zx=2
11，求：222z y x ++的值。

解：∵（x+y+z ）2=x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz ∴x 2+y 2+z 2=（x+y+z ）2－2（xy+yz+xz ）
=62－2×2
11=25。

∴222z y x ++=5
例2．当a ，b 为何值时关于x 的方程x 2+2（1+a ）x+（3a 2+4ab+4b 2+2）=0有实数根？
解：∵判别式△=（2+2a ）2－4（3a 2+4ab+4b 2+2）≥0
即2a 2+4ab+4b 2+1－2a ≤0
配方得（a+2b ）2+（a －1）2≤0又由实数的运算意义得
（a+2b ）2+（a －1）2≥0恒成立
∴当且仅当a －1=0，a+2b=0同时成立时，以上两个不等式才能同时成立，即当a=1，b=2
1-时原方程有实数根。

另一种解法：∵原方程可以直接变形：[x 2+2（1+a ）x+（1+a ）2]+（a 2+4ab+4b 2）+[2a 2+2－（1+a ）2]=0即（x+1+a ）2+（a+2b ）2+（a －1）2=0从而直接得出答案，并且可以解出原方程的解为x=－2
例3．已知x 2+x+1=0求下列有理式的值：（1）x 2+x －2。

（2）x 3+x －3。

（3）x 4+x －4。

解：∵x 2+x+1=0，∴x ≠0，故有x+x －1=－1∴x 2+x －2=（x+x －1）2－2=－1 x 3+x －3=
（x 2+x －2）（x+x －1）－（x+x －1）=2，x 4+x －4= （x 2+x －2）2－2=－1。

例4.化简12-+x x +12--x x .
解:原式=112)1(+-+-x x +112)1(+---x x
=2)11(+-x +2)11(--x
=||11+-x +||11--x =⎩⎨⎧≤≤≥-)
21(2)2(12x x x
二基础训练题
1.已知x,y 同时满足:x 2+y 2=20和x －y=4试求xy 的值.
解: ∵x －y=4两边平方得x 2+y 2－2xy=16又∵:x 2+y 2=20 ∴xy=2
1620-=2 2.求满足条件5x 2+5y 2+8xy+2y －2x+2=0的实数x ，y 的值。

提示：原式可配方为4（x+y ）2+（y+1）2+（x －1）2=0解得x=1，y=－1
3．解方程：x 2+4x －16x 2+20=0
提示：配方成（x －2）2+（x 8－4）2=0可得x=2
4.若a,b,c,d 都是正数.且满足a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd,求证:以a,b,c,d 为边的四边形是菱。