2017年天津市河西区中考数学一模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算（﹣3）﹣9的结果等于（）A．6 B．﹣12 C．12 D．﹣62．cos30°的值是（）A．B．C．D．3．下列图案中，可以看作中心对称图形的是（）A．B．C． D．4．第十三届全运会将于2017年8月在天津举行，其中足球项目承办场地为团泊足球场，该足球场占地163000平方米，将163000用科学记数法表示应为（）A．163×103B．16.3×104C．1.63×105D．0.163×1065．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．6．分式方程的解为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=37．等边三角形的边心距为，则该等边三角形的边长是（）A．3 B．6 C．2 D．28．数轴上点A表示a，将点A沿数轴向左移动3个单位得到点B，设点B所表示的数为x，则x可以表示为（）A．a﹣3 B．a+3 C．3﹣a D．3a+39．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（）A．B．C．D．10．己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（）A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．y＞6 D．2＜y＜611．如图，菱形ABCD的对角线AC=3cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形ENCM的面积之比为（）A．9：4 B．12：5 C．3：1 D．5：212．二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．计算a2•a4的结果等于．14．关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D是BC上一点，BD=5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为．16．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BOC与∠BAC互补，则弦BC的长为．17．如图，在边长为a（a＞2）的正方形各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，则正方形MNPQ的面积为．18．在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形ACB与ECD的顶点都在网格点上，点N、M分别为线段AB、DE上的动点，且BN=EM．（Ⅰ）如图①，当BN=时，计算CN+CM的值等于；（Ⅱ）当CN+CM取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段CN和CM，并简要说明点M和点N的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答；（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．为了解某校八、九年级部分学生的睡眠情况，随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查，已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如图的统计图表：睡眠情况分段情况如下组别睡眠时间x（小时）A 4.5≤x＜5.5B 5.5≤x＜6.5C 6.5≤x＜7.5D7.5≤x＜8.5E8.5≤x＜9.5根据图表提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）直接写出统计图中a的值；（Ⅱ）睡眠时间少于6.5小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=32°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大小．22．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至AC′的位置时，AC′的长为m；（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．23．国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表：类别彩电冰箱洗衣机进价（元/台）200016001000售价（元/台）230018001100若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商店购买冰箱x台．（1）商店至多可以购买冰箱多少台？（2）购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？24．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．如图，将一个矩形纸片ABCD，放置在平面直角坐标系中，A（0，0），B（4，0），D（0，3），M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM折叠，得到△ANM．（Ⅰ）当AN平分∠MAB时，求∠DAM的度数和点M的坐标；（Ⅱ）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（Ⅲ）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．（直接写出答案）在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．小明：我是这样想的，延长MN与x轴交于P点，于是出现了Rt△NAP，…小雨：我和你想的不一样，我过点N作y轴的平行线，出现了两个Rt△NAP，…25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，已知点A的坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴的正半轴，且∠CAB=30°．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线l：y=x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E．①当m＞0时，在线段AC上否存在点P，使得点P，D，E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l的对称线段A′C′与二次函数图象有交点，请直接写出m的取值范围．2017年天津市河西区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算（﹣3）﹣9的结果等于（）A．6 B．﹣12 C．12 D．﹣6【考点】1A：有理数的减法．【分析】原式利用减法法则变形，计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣3+（﹣9）=﹣12，故选B2．cos30°的值是（）A．B．C．D．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：cos30°=，故选：D．3．下列图案中，可以看作中心对称图形的是（）A．B．C． D．【考点】R5：中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念和各图特点即可解答．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；C、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，故此选项正确；D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；．故选：C．4．第十三届全运会将于2017年8月在天津举行，其中足球项目承办场地为团泊足球场，该足球场占地163000平方米，将163000用科学记数法表示应为（）A．163×103B．16.3×104C．1.63×105D．0.163×106【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将163000用科学记数法表示为：1.63×105．故选：C．5．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看下边是一个大矩形，上边是一个小矩形，且长相等．故选：A．6．分式方程的解为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3【考点】B3：解分式方程．【分析】观察可得最简公分母是2x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘2x（x+3），得x+3=4x，解得x=1．检验：把x=1代入2x（x+3）=8≠0．∴原方程的解为：x=1．故选B．7．等边三角形的边心距为，则该等边三角形的边长是（）A．3 B．6 C．2 D．2【考点】KK：等边三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，先根据等边三角形的性质得出∠OBD=30°，根据锐角三角函数的定义得出BD的长，由垂径定理即可得出结论．【解答】解：如图所示，∵△ABC是等边三角形，边心距OD=，∴∠OBD=30°，∴BD===3．∵OD⊥BC，∴BC=2BD=6．故选B．8．数轴上点A表示a，将点A沿数轴向左移动3个单位得到点B，设点B所表示的数为x，则x可以表示为（）A．a﹣3 B．a+3 C．3﹣a D．3a+3【考点】13：数轴．【分析】根据B点表示的数比点A表示的数小3，即可表示出点B表示的数．【解答】解：由题意得，把点A向左移动3个单位长度，即点A表示的数减小3．故B点所表示的数为a﹣3．故选A．9．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（）A．B．C．D．【考点】X4：概率公式．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．【解答】解：根据题意可得：大于2的有3，4，5三个球，共5个球，任意摸出1个，摸到大于2的概率是．故选C．10．己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（）A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．y＞6 D．2＜y＜6【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答【解答】解：∵k=6＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，又∵当x=1时，y=6，当x=3时，y=2，∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．故选D．11．如图，菱形ABCD的对角线AC=3cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形ENCM的面积之比为（）A．9：4 B．12：5 C．3：1 D．5：2【考点】L8：菱形的性质；Q2：平移的性质．【分析】首先得出△MEC∽△DAC，则=，进而得出=，即可得出答案．【解答】解：∵ME∥AD，∴△MEC∽△DAC，∴=，∵菱形ABCD的对角线AC=3cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，∴AE=1cm，EC=2cm，∴=，∴=，∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：=．12．二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8【考点】HC：二次函数与不等式（组）．【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到x=﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t 在x的范围内有交点解答．【解答】解：对称轴为直线x=﹣=1，解得b=﹣2，所以，二次函数解析式为y=x2﹣2x，y=（x﹣1）2﹣1，x=﹣1时，y=1+2=3，x=4时，y=16﹣2×4=8，∵x2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．计算a2•a4的结果等于a6．【考点】46：同底数幂的乘法．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．【解答】解：原式=a2+4=a6．故答案为：a6．14．关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k＜．【考点】AA：根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4×2k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4×2k＞0，解得k＜．故答案为：k＜．15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D是BC上一点，BD=5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为3．【考点】KO：含30度角的直角三角形．【分析】由垂直的定义得到∠DEB=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠C=∠DEB，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴，即=，∴DE=3，故答案为：3．16．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BOC与∠BAC互补，则弦BC的长为2．【考点】MA：三角形的外接圆与外心．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB==30°，∵⊙O的半径为2，∴BD=OB•cos∠OBC=2×=，∴BC=2．故答案为：2．17．如图，在边长为a （a ＞2）的正方形各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，则正方形MNPQ 的面积为 2 ．【考点】LE ：正方形的性质．【分析】根据图形可得4×（S △FSB +S 四边形MFBG ）=S 正方形MNPQ +4×S 四边形MFBG ，即S 正方形MNPQ=4S △FSB ；由此即可解决问题．【解答】解：分别延长QE ，MF ，NG ，PH ，交FA ，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，S ，T ，W ，可得△RQF ，△SMG ，△TNH ，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图（2））．若将上述四个等腰三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则新正方形的边长a ；这个新正方形与原正方形ABCD 的面积相等； 通过上述的分析，可以发现S 正方形MNPQ =4•S △FSB =4×1×1=2．故答案为2．18．在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形ACB 与ECD 的顶点都在网格点上，点N、M分别为线段AB、DE上的动点，且BN=EM．（Ⅰ）如图①，当BN=时，计算CN+CM的值等于+；（Ⅱ）当CN+CM取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段CN和CM，并简要说明点M和点N的位置是如何找到的（不要求证明）．【考点】N3：作图—复杂作图；KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．【分析】（1）根据当BN=EM=时，点N和点M在格点上，运用勾股定理进行计算即可得到CN+CM的值；（2）取格点P、Q，使得PB=CE，PB⊥BC，QE=CB，QE⊥AC，连接CP交AB于N，连接CQ交DE于M，则根据全等三角形的对应边相等，以及两点之间线段最短，可得线段CN和CM即为所求．【解答】解：（1）当BN=EM=时，点N和点M在格点上，∴CN+CM=+=+；（2）如图所示，取格点P、Q，使得PB=CE，PB⊥BC，QE=CB，QE⊥AC，连接CP交AB于N，连接CQ交DE于M，则线段CN和CM即为所求．理由如下：根据等腰直角三角形ACB与ECD的顶点都在网格点上，可得∠PBN=∠CEM=45°，∠CBN=∠QEM=45°，而BN=EM，故△BPN≌△ECM，△CBN≌△QEM，∴PN=CM，CN=QM，∴当P，N，C三点共线时，CM+CN=PN+CN=PC（最短），当Q，M，C三点共线时，CM+CN=CM+MQ=QC（最短），∴点M和点N的位置符合题意．三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答；（Ⅰ）解不等式①，得x≤4；（Ⅱ）解不等式②，得x＞；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为＜x≤4．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上分别表示出每个不等式的解集，即可确定不等式组的解集．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤4；（Ⅱ）解不等式②，得：x＞；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为：＜x≤4，故答案为：x≤4，x＞，＜x≤4．20．为了解某校八、九年级部分学生的睡眠情况，随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查，已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如图的统计图表：睡眠情况分段情况如下组别睡眠时间x（小时）A 4.5≤x＜5.5B 5.5≤x＜6.5C 6.5≤x＜7.5D7.5≤x＜8.5E8.5≤x＜9.5根据图表提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）直接写出统计图中a的值5%；（Ⅱ）睡眠时间少于6.5小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？【考点】X2：可能性的大小；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【分析】（1）根据扇形统计图可以求得a的值；（2）根据统计图中的数据可以求得该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性；【解答】解：（1）a=1﹣10%﹣25%﹣35%﹣25%=5%，即统计图中a的值是5%；（2）八年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为：=，九年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为：5%+25%=30%=0.3；21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=32°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大小．【考点】MC：切线的性质．【分析】（Ⅰ）连接OC，如图①，根据切线的性质得∠OCP=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB=32°，则利用三角形外角性质可计算出∠POC，然后利用互余计算∠P的度数；（Ⅱ）如图②，根据垂径定理的推论，由点E为AC的中点得到OD⊥AC，则利用三角形外角性质得∠AOD=∠CAB+∠OEA=106°，再根据圆周角定理得到∠C=∠AOD=53°，然后利用三角形外角性质可计算出∠DPA的度数．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，如图①，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=32°，∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°，∴∠P=90°﹣∠POC=90°﹣64°=26°；（Ⅱ）如图②，∵点E为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠OEA=90°，∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，∴∠C=∠AOD=53°，∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°．22．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至AC′的位置时，AC′的长为23.5m；（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】（1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得关于x的方程，解出即可．【解答】解：（I）∵点C是AB的中点，∴A'C'=AB=23.5m．（II）设PQ=x，在Rt△PMQ中，tan∠PMQ==1.4，∴MQ=，在Rt△PNQ中，tan∠PNQ==3.3，∴NQ=，∵MN=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，解得：x≈97．答：解放桥的全长约为97m．23．国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表：类别彩电冰箱洗衣机进价（元/台）200016001000售价（元/台）230018001100若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商店购买冰箱x台．（1）商店至多可以购买冰箱多少台？（2）购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？【考点】FH：一次函数的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）根据表格中三种家电的进价表示三种家电的总进价，小于等于170000元列出关于x的不等式，根据x为正整数，即可解答；（2）设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，则y=2x+x+=500x+10000，结合（1）中x的取值范围，利用一次函数的性质即可解答．【解答】解：（1）根据题意，得：2000•2x+1600x+1000≤170000，解得：x，∵x为正整数，∴x至多为26，答：商店至多可以购买冰箱26台．（2）设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，则y=2x+x+=500x+10000，∵k=500＞0，∴y随x的增大而增大，∵x且x为正整数，∴当x=26时，y有最大值，最大值为：500×26+10000=23000，答：购买冰箱26台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为23000元．24．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．如图，将一个矩形纸片ABCD，放置在平面直角坐标系中，A（0，0），B（4，0），D（0，3），M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM折叠，得到△ANM．（Ⅰ）当AN平分∠MAB时，求∠DAM的度数和点M的坐标；（Ⅱ）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（Ⅲ）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．（直接写出答案）在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．小明：我是这样想的，延长MN与x轴交于P点，于是出现了Rt△NAP，…小雨：我和你想的不一样，我过点N作y轴的平行线，出现了两个Rt△NAP，…【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）由折叠的性质得：△ANM≌△ADM，由角平分线结合得：∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函数可求DM的长，写出M的坐标；（2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，在Rt△ANQ中，由勾股定理列等式可得关于x的方程：（x+1）2=32+x2，求出x，得出AB 是AQ的，即可得出△NAQ和△NAB的关系，得出结论；（III）如图3，过A作AH⊥BF于H，证明△ABH∽△BFC，得，Rt△AHN 中，∵AH≤AN=3，AB=4，可知：当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH 最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图4所示，求此时DF的长即可．【解答】解：（I）∵A（0，0），B（4，0），D（0，3），∴AD=3，AB=4，由折叠得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∴∠MAN=∠NAB，∴∠BAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=，∴∠DAM=30°，M（，3）；（II）延长MN交AB的延长线于点Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，==×AN•NQ=×3×4=；∴S△NAB（III）如图3，过A作AH⊥BF于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴，Rt△AHN中，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图4所示，由折叠得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值为DC﹣CF=4﹣．25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，已知点A的坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴的正半轴，且∠CAB=30°．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线l：y=x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E．①当m＞0时，在线段AC上否存在点P，使得点P，D，E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l的对称线段A′C′与二次函数图象有交点，请直接写出m的取值范围．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）如图1，连结AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，根据三角函数可得C（0，），根据待定系数法可求抛物线解析式；（2）①由题意可知，OE=m，OD=，∠DEO=30°，根据等腰直角三角形的判定与性质分三种情况：（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴；（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴；（iii）如图4，当DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC；进行讨论可求点P的坐标；②动直线l与直线AC的交点为C和动直线l与y轴的交点在x轴下面，并且与前面的直线平行，可求m的取值范围．【解答】解：（1）如图1，连结AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，∵A（﹣3，0），即OA=3，∴OC=，即C（0，），设抛物线解析式为，将A（﹣3，0），B（1，0）代入得．解得．∴；（2）由题意可知，OE=m，OD=，∠DEO=30°，（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴∴∠PQD=∠EOD=90°，∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，∴∠DEO=∠PDQ=30°，在△DPQ与△EDO中，，∴△DPQ≌△EDO（AAS），∴DQ=OE=m，∵∠PAQ=∠PDQ=30°，∴PA=PD，∴AQ=DQ=m，∴OA=2m+=3，∴；（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴，同理可得CQ=EQ=OD=，∴OC=m+=，∴；（iii）如图4，当DP⊥PE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，同理可得AP=AD=，PN=DM=，CN=∴AC=++=，∴；②当x=0，y=时，=0+m，解得m=；当x=0，y=﹣时，﹣=0+m，解得m=﹣．故m的取值范围为：．2017年6月1日。