标准答案及评分标准用纸
课程名称:线性代数 ( A 卷)
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、2
3
-
; 2、E; 3、-15; 4、5t ≠; 5、 2 二、选择题(每小题3分,共15分)
1、C
2、A
3、B
4、C 5 、D 三、解答题(每小题8分,共32分)
1、 1
210001
210
00
(1)2121000
121
1
21n n n x x
n x n x n n D x x n n x x n n n n
-+-++⎡
⎤==+⎢⎥⎣⎦+-+--L L L L M
M
L
M M M M L M
M L L L
L
………………(4分)
(1)12
(1)(1)
2n n n n n x x --+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦
………………………………………………………………(8分) 2、 由题意(1,2)B AE = ……………………………………………………………………………………(4分)
又BX A =,即(1,2)AE X A =,所以1
(1,2)X E -=(1,2)E =……………………………………………(8分)
3、 记1
200A A A ⎛⎫=
⎪⎝⎭,则1
111200A A A ---⎛⎫
= ⎪⎝⎭
, ……………………………………………………………(2分) 又*
11211,10A A ⎛⎫==
⎪-⎝⎭,故1
12110A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
…………………………………………………………(4分)
*
21
211,31A A -⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭,故1
22131A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭
………………………………………………………(6分)
所以1
21
010*******
031A -⎛⎫ ⎪
-
⎪
= ⎪
- ⎪
-⎝⎭。

…………………………………………………………………(8分)
4、记()1234,,,A αααα=,对A 进行行初等变换,将其化为行最简形:
1211241012213631A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭～1211003200320064-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭～
1
2110
0320
0000
00-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭～11
20320
01300000000⎛⎫
-
⎪
⎪
⎪
-
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
…………………(4分)
()2R A =,又显然13,αα线性无关,所以13,αα即为原向量组的一个最大无关组;………………………(6分)
且212αα=,4131
233
ααα=--。

………………………………………………………………………………(8分)
或取13,αα为原向量组的一个最大无关组;且212αα=,3131
32
2
ααα=--。

取23,αα为原向量组的一个最大无关组;且1212αα=,42312
63ααα=--。

取24,αα为原向量组的一个最大无关组;且1212αα=,32413
42
ααα=--。

四(14分)、解 先将方程组的增广矩阵通过初等行变换化成行阶梯形
111132130012654312a B b ⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭～1111012630126012625a a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭～101520
1263000030
22a a b a a ---⎛⎫
⎪ ⎪
⎪-
⎪-⎝⎭
…………………(4分) 可见当1a =且3b =时,()()2R B R A ==,方程组有解,否则方程组无解; ……………………(7分) 在方程组组有解时,同解方程组为
1342
3452263x x x x x x =+-⎧⎨=--+⎩,取34
0x x ==,得原方程组一特解()*
2,3,0,0T η=-; ……………………(9分) 取
()()()
34,1,0,0,1T T T
x x =,得原方程组导出组的基础解系为
()11,2,1,0T ξ=-,()
25,6,0,1T
ξ=-;………………………………………………………………………………
…………(12分)
所以原方程组的同解为*
1122c c ηξξη=++,12,c c 为任意常数。

…………………………………(14分) 注:此题基础解系有很多种表示形式,改卷时需注意。

五(14分)、矩阵A 的特征多项式222082(6)(2)0
6A E a λ
λλλλλ
--=
-=--+-,
故A 的特征值为126λλ==,32λ=-。

…………………………………………………………………(4分)
由于A 相似于对角矩阵Λ,故对应于126λλ==应有两个线性无关的特征向量,即齐次线性方程组
(6)0A E x -=的基础解系中应含两个解,所以(6)1R A E -=,…………………………………………………(6分)
而420684000A E a -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭～42000000a -⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
,故0a = …………………………………………………(8分)
对126λλ==,解(6)0A E x -=,6A E -～210000000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,得基础解系12102,001p p ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………(10分)
对32λ=-,解(2)0A E x +=,2A E +～210001000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,得基础解系3120p ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
………………………(12分)
记矩阵600060002⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭,则矩阵101202010P ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
即满足1
P AP -=Λ。

………………………(14分)
注:此题基础解系有很多种表示形式,故可逆矩阵P 有多种形式都可以,改卷时需注意。

六、证明题(每题5分,共10分)
1、证法一 设存在一组数01,,,n r k k k -L ,使得*
011220n r n r k k k k ηξξξ--+++=L
以矩阵A 左乘上式,因为*
η就是Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ-L 就是0Ax =解,故
*A b η=,0i A ξ=,1,,i n r =-L ,所以00k b =,又0b ≠,则必有00k =。

……………………(3分)
又因为12,,,n r ξξξ-L 就是 0Ax =的一个基础解系,故它们线性无关,所以,120n r k k k -====L ,即证得
*12,,,,n r ηξξξ-L 线性无关;………………………………………………………………………………(5分)
证法二 假设*
12,,,,n r ηξξξ-L 线性相关,
因为12,,,n r ξξξ-L 就是 0Ax =的一个基础解系,故它们线性无关,
则 *
η可以由12,,,n r ξξξ-L 线性表示,………………………………………………………………………(3分) 由其次线性方程组解的性质知*η就是0Ax =的解,这与已知*
η就是Ax b =的一个解矛盾,故假设不成立,所
以*
12,,,,n r ηξξξ-L 线性无关。

………………………………………………………………………………(5分)
2、证 因为A 就是正交矩阵,故1
T A A -=; …………………………………………………………………………(2分)
又1A =-,则有T
T A E A
A E A E A E +=-+=-+=-+,所以0A E +=,
即证得1λ=-就是A 的特征值。

………………………………………………………………………………(5分)。