年金精算现值.
a x v k .k p x
k 0
..
Ax ( Ax )2 Var( a x ) d2
.. 2
例 已知 i 0.05
0 0
a t (1 t px )dt a t ( t px )dt
0 0
（ a t .t px）｜
0
0 t
px .(at )dt
0 t
px .(at )dt
0 t
px .( v s ds)dt
0
t
n
0 t
px v t dt
1 例2： 已 知 x ,计 算 当 100, 0.05,x 30时 ， -x 30年 定 期 生 存 年 金 的 精 现 算值
解: a30:30
30 t
0
p30v dt e 0
t
30 0
x s ds
t
e t dt
ax
0 t
px v t dt
例1：在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 解:
ax
ax
0 t
px v dt 0
t
e t .e 0
b
x s ds
t
0.06 t 0.04 t e . e dt dt 0
0
e 0.1t dt lim b 0
A x 0.65
例2：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年金额为2000元 的生存年金，利率为6％，试利用用生命表在UDD假设下的下列生 存的精算现值。（1）终身生存年金（2）20年定期生存年金（3） 延期10年的终身生存年金（4）延期10年的20年定期生存年金 解:
Ax 1 a x
2t 0 2t 0
v ( tq x ) dt v 2 t .( t px )dt 2t 0
－( v .t px ) | ( v ) .t px dt 1 2 v 2 t . ln v .t px dt
0
1 2 v .t px dt 1 2 a x 0
t 0 0
1 v . ln v .t px dt 1 v t .t px dtt 0 Nhomakorabea
0
1 ax
同理可得：
A
1 x :n
1 a x :n
Ax :n Ax n| a x
m|
a x :n
Ax :m A x :m n
s x :n
1 a x :n n Ex 1 l n x a x :n n (1 i ) a x :n v .n p x l xn
l x n s x :n ( 1 i )n l x a x :n
第三节 离散型年金
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次
A
1 x :n
1 a x :n
1 A35:20 2000 a 35 :20 2000 1 i 1 1 2000 ( A35: 20 A35:20 ) 1 D55 i M 35 M 55 2000 ( ) D35 D35
23258 .59
2t
2
Ax ( A x )2 VarY 2
2
( 1 2 a x ) ( 1 a x )2 VarY 2
2
( 1 2 7.375) ( 1 10 )2 50 2
0.035
Ax 1 a x
解:
t
ax
0 t
px v t dt
px fT (t )dt 0.015e 0.015 t dt e 0.015 t t t
0.065 t
a x e 0.015 t .e 0.05 t dt 0 e
0
e 0.065 t dt |0 15.38 0.065
Y的方差
1、终身生存年金
2
Ax ( A x )2 VarY 2
2、n年定期生存年金
2 2 VarY ( a x :n a x :n ) ( a x :n )
3、延期n年的终身生存年金
2 2n 2 2 Var Y .v .n p x ( a x n a x n ) ( n| a x )
1 vT T P ( v 0.231) P (a x a T ) P ( 15.38) 0.05 29.31 0.015 t 0.05T dt P (e 0.231) P (T 29.31) 0 0.015e
0.3557
二、n年定期生存年金
a x:n
t n
v n s .n s px ds
0
v .n px . v s .s px nds
n 0
n|
a x n E x . a xn
（x)岁的人购买了延期m年的n年定期生存年金，即按连续方式方 式每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为
m|
1 A35 1 i 2000 ( 1 A35 ) 2000 a 35 2000 1 0.06 M 35 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) D35
1 0.06 14116 .1223 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) 126513 .78 30380 .05
e
0
30
1 ds 0 70
t
e 0.05 t dt e
0
30
1 t 70
.e 0.05 t dt
13.01
三、延期生存年金
（x)岁的人购买了延期n年的终身生存年金，即按连续方式方式 每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为 a n| x
n|
a x v .t px dt a x a x:n
1 x: n
例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁， 可获得10000元。已知i＝6％，计算（1）趸缴纯保费。 （2）25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值 （利用附录中的生命表） 解： 1000040 E25 10000 v 40 p 40 25
10000 e
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金） 生存年金与确定性年金的联系 都是间隔一段时间支付一次的系列付款 生存年金与确定性年金的区别 确定性年金的支付期数确定
生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条
第三章 年金精算现值
第一节 生存年金的概念和种类
一、生存年金的定义：
支付一次保险金的保险类型 二、生存年金的分类： 1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金 2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金 3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金 4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金 5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年
金的现值之和
aT
t v t lnv lnv v s ds v s lnv |0
0
t
aT
1 vT
步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金 期望值，即终身连续生存年金精算现值
a x E Y a t f t t dt a t [FT t ]dt
a x:n m E x . a x m:n
四、年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系
Ax 1 a x
证明: A x
0
0
v fT t dt
t
t
0
t dt v ( q ) v FT t dt 0 t x
t
v .( t p x )dt －( v .t px ) | ( v t ) .t px dt
15315 .87
Ax :m A x :m n m | a x :n A35:10 A35:30 2000 10| a 35:20 2000
12465 .84
五、年金的精算累积值
以连续方式每年给付金额为1元的n年定期生存年金的精算累积值
例1 ：设a x 10, a x 7.375,Var(aT ) 50,求：（ 1）（2） Ax
解:
－
－ 2
－
－
Ax ( A x )2 VarY 2
2
Ax v t fT t dt
0
A x v fT t dt 0
2t 0
40
l65 l 25
