过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为H、K，求
证：HK平分QS.
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提高练习
练3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在 BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC ，AM与BN相交于P，求∠BPM.
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6
挑战自己
练4. 四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线 交于点F，DC、AB的延长线交于点E，EP切圆
XUSUHUA
第二十七章 圆
27.23 四点共圆判定定理（1）
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知识链接
1. 常见四点共圆的判定定理： 2. 1. 若干个点与定点的距离相等，则这些点在同一圆
周上；
3. 2. 点C、D在线段AB的异侧，且 ∠ACB+∠ADB=180°，则A、B、C、D四点共圆
；
4. 3. 若点C、D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB， 则A、B、C、D四点共圆；
5. 4. 若两线段AB、CD交于E，且AE·EB=CE·ED，则 A、B、C、D四点共圆；
6. 5. 相交线段PA、PB上分别有异于P、A、B的点C、 D，且PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆.
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经典例题
例. 如图，锐角△ABC的三条高AD，BE，CF交 于H，在A，B，C，D，E，F，H七个点中，能
间直线球面变换法》．论文是在库利芝教授指导下完成的，内容是用
代数和微分几何方法来讨论Leabharlann 影空间的直线和非欧空间的球面之间的
对应关系，并获得了博士学位．学成之后回国，为中国数学事业贡献
了毕生精力.
姜立. 夫
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组成四点共圆的组数有多少？
有多少个三角形？
有多少组相似三角形？又有多少对相似三角形？
有多少组三点共线？又有多少组三线共点？
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巩固练习
练1.如图，在△ABC中，∠B=50°，BE⊥AC 于E，CF⊥AB于F，∠AFE=80°，求∠A.
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4
提高练习 练2.已知PQRS是圆内接四边形，∠PSR=90°，
民的钱，就应当为人民做点好事．他立志要把现代数学移植于中
国．那时候，在中国，现代数学还谈不上有什么基础，他充分意识到，
他面临艰巨的任务．但他不考虑成败得失，用他自己的话说，就是
“不管时机是否成熟”．为了进一步充实自己，以便实现上述抱负，
他努力转到哈佛大学作研究生．1918年，他在哈佛受聘为助教，作为 奥斯古德教授的助手．1919年5月，他完成博士论文《非欧几里得空
于P，FS切圆于S，求证：EF2=EP2+FS2.
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回味无穷
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课后作业
自选四道与四点共圆判定定理有关的题 （最好选择与判定定理1~3有关的，可以选 择本课件上的题） 温馨提醒： 1. 有代表性、有挑战性、有意义性； 2. 有题目、有图、有过程.
预习四点共圆的判定.
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他是现代数学在中国最早而又最富成效的一位播种人，他1890年 生于浙江省平阳县(今苍南县)农村一个知识分子家庭．他6岁丧父，10
岁丧母，以后主要由哥嫂抚养成长。后来到美国后，他入加利福尼亚 州的加州大学(伯克利)，专攻数学．1915年获学士学位．那时民国虽
已成立数年，中国的贫弱落后面貌依旧．他认为，中国要富强起来，
需要科学，数学是科学的基础，因而也需要数学．他还认为，他到美
国，用的是美国退回的庚子赔款，那是中国人民血汗换来的，用了人