．
32 1 52 1 72 1
19932 1 19952 1
【巩固】计算： 12 22 32 502
．
13 35 5 7
99 101
【巩固】 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11
1
1
1
【例 6】
2
3
1999
1 1 (1 1) (1 1)
1
1[ 1
1
]
n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)
1
1[
1
1
]
n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)
裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x
【例 10】 计算：13 33 53 73 93 113 133 153
【巩固】 1 3 2 4 3 5 9 11
【巩固】计算：1 2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 10
【例
11】
计算：1
1 3
1 32
1 33
1 34
1 35
1 36
(22 42 62 1002 ) (12 32 52 992 ) 【例 12】 计算：
(1 1) (1 1) (1
1)
2
2
3
2
3
1999
【巩固】计算：1 1 1
1
1 2 1 2 3 1 2 2007
【巩固】 1 1 1
1
3 35 357
3 5 7 21
【例 7】 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 50
知识点拨
一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b ， ab
那么有
1
1
1 (
1 )
ab ba a b
(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，
形式的，我们有：
n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3)
【例
13】
12
计算：
22
22
32
32
42
42
52
20002
20012
1 2 23 3 4 45
2000 2001
【例 14】 2007 8.5 8.5 1.5 1.5 10 160 0.3
．
【巩固】计算： 53 57 47 43
．
【巩固】计算：1119 12 18 1317 14 16
9
)
2 (
3
9 )
234
10 2 3 4
10 2
234
10 3 4
10
【巩固】计算
1
1
2 3
1 1
1 1
1 1
4 1
3
1
1 2009
4
1
1
2009
【巩固】
( 7.88 6.77 5.66 ) ( 9.31 10.98 10 ) ( 7.88 6.77 5.66 10 ) (
1
【例 9】
22
计算：
32
992
22 1 32 1
992 1
12 【巩固】计算：
22
992
12 100 5000 22 200 5000
992 9900 5000
【例 1】
24 1 23
1 45
20
1
21
1 12
12
1 22
12
22
1 102
模块二、换元与公式应用
2 23 234
2 3 50
【例 8】 12 12 22 12 22 32 12 22 32 42 12 22 262
13 13 23 13 23 33 13 23 33 43
13 23 263
【巩固】
1
1 22 1
1
1 32 1
1
1 992
【例 20】
2002
和
1
化成循环小数后第 100 位上的数字之和是_____________.
2009 287
【巩固】纯循环小数 0.abc 写成最简分数时,分子和分母的和是 58 ,则三位数 abc _________
【例 21】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
果该是多少?
【巩固】将循环小数 0.027 与 0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一
位小数是多少?
【例 18】 有 8 个数， 0.51 ， 2 , 5 , 0.51 , 24 , 13 是其中 6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第 4
39
47 25
个数是 0.51 ，那么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数?
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数
与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，
使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．
2
3
10)
【例 5】 1 1 1 1 1 1
.
32 1 52 1 72 1 92 1 112 1 132 1
【巩固】计算： 3 5 7 15
12 22 22 32 32 42
72 82
【巩固】计算： 32 1 52 1 72 1 19932 1 19952 1
纯循环小数
混循环小数
分子
循环节中的数字所组成的数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字 所组成的数的差
分母
按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分母，其中 9 在 0 n 个 9，其中 n 等于循环节所含的数字个数
的左侧
·
0.a
a
；
9
··
0.a b
ab
；
99
··
0.0 a b
ab
1
【巩固】计算
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 2
1 3
1 4
1 5
1 2
2 3
3 4
9 10
2
1 2
2 3
3 4
9 10
1 2
1
1 2
2 3
9 10
2 3
3 4
9 10
1 (
2
3
9 )2
1 (
2
3
9 ) 1 (1 1 2 3
ab
；
99 10 990
··
0.a b c
abc
a
，……
990
2、单位分数的拆分：
例：
1 10
=
1 20
1 20
=
1
1
=
1
1
=
1
1
=
1
1
分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母 N 的约数中任意找出两个 m 和 n,有：
1 1(m n) m n = 1 1 N N(m n) N(m n) N(m n) A B
．
【巩固】计算：1 99 2 98 3 97 49 51
．
【巩固】看规律 13 12 ，13 23 32 ，13 23 33 62 ……，试求 63 73. 143
【例
15】
计算：
(1
1
1)
1 (
1
1 )
(1
1
1
1
)
1 (
1 )
24 246
246 24
【巩固】 (1 1 1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 1 1) (1 1 1)
234 345
8 9 10 9 10 11
【巩固】计算：
3
4
5
12
1 2 45 235 6 3 4 6 7
10 111314
【例 3】
1 2 3 4
9
2 23 234 2345
2 3 410
【例 4】 1 1 1
1
1 1 2 1 23
1 2 100
2
3
4
50
1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4)
1 2 3 9 10 9 8 3 2 1
【巩固】⑴ 314159262 31415925 31415927 ________；
⑵12342 87662 2468 8766 ________．
【巩固】计算：12 22 32 42 20052 20062 20072
(1 2 3 49) (1 2 3 50)
2
3
4
100
1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4)
(1 2 99) (1 2 100)
【巩固】
1
2 1（1
2）
(1
2)
3 (1
2
3)
(1
2
3