同济大学第六版高等数学上下册课后习题
答案9-1
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习题9-1
1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy 面上的闭区域D , 薄板上分布有密度为μ =μ(x , y )的电荷, 且μ(x , y )在D 上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q .
解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x , y )在该板所占闭区域D 上的二重积分
⎰⎰=D
d y x Q σμ),(.
2. 设⎰⎰+=1
3221)(D d y x I σ, 其中D 1={(x , y )|-1≤x ≤1, -2≤y ≤2};
又⎰⎰+=2
3222)(D d y x I σ, 其中D 2={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤2}.
试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2的关系.
解 I 1表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =±1, y =±2以及z =0围成的立体V 的体积.
I 2表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =0, x =1, y =0, y =2以及z =0围成的立体V 1的体积.
显然立体V 关于yOz 面、xOz 面对称, 因此V 1是V 位于第一卦限中的部分, 故
V =4V 1, 即I 1=4I 2.
3. 利用二重积分的定义证明:
(1)⎰⎰=D
d σσ (其中σ为D 的面积);
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证明 由二重积分的定义可知,
⎰⎰∑=→∆=D n
i i i i f d y x f 10),(lim ),(σηξσλ 其中∆σi 表示第i 个小闭区域的面积.
此处f (x , y )=1, 因而f (ξ, η)=1, 所以,
σσσσλλ==∆=→=→⎰⎰∑0
10lim lim D n i i d .
(2)⎰⎰⎰⎰=D D
d y x f k d y x kf σσ),(),( (其中k 为常数);
证明 ∑⎰⎰∑=→=→∆=∆=n
i i i i D n i i i i f k kf d y x kf 1010),(lim ),(lim ),(σηξσηξσλλ ⎰⎰∑=∆==→D n
i i i i d y x f k f k σσηξλ),(),(lim 10. (3)⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2
1),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ,
其中D =D 1⋃D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域.
证明 将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域1i σ∆和2i σ∆, n 1+n 2=n , 作和
∑∑∑===∆+∆=∆2
222211111111),(),(),(n i i i i n i i i i n i i i i f f f σηξσηξσηξ. 令各1i σ∆和2i σ∆的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1λ2),
则有
∑=→∆n i i i i f 10),(lim σηξλ∑∑=→=→∆+∆=2222221111111
010),(lim ),(lim n i i i i n i i i i f f σηξσηξλλ,
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即 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2
1),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ.
4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小:
(1)⎰⎰+D d y x σ2)(与⎰⎰+D
d y x σ3)(, 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与
直线x +y =1所围成;
解 区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3≤(x +y )2, 从而
⎰⎰+D d y x σ3)(≤⎰⎰+D
d y x σ2)(. (2)⎰⎰+D d y x σ2)(与⎰⎰+D
d y x σ3)(, 其中积分区域D 是由圆周
(x -2)2+(y -1)2=2所围成;
解 区域D 如图所示, 由于D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2, 因而
⎰⎰⎰⎰+≤+D
D d y x d y x σσ3
2)()(. (3)⎰⎰+D d y x σ)ln(与⎰⎰+D
d y x σ3)(, 其中D 是三角形闭区域, 三角顶
点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0);
解 区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而
0≤ln(x +y )≤1, 故有
[ln(x +y )]2≤ ln(x +y ),
因而 ⎰⎰⎰⎰+≥+D
D d y x d y x σσ)ln()][ln(2.
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(4)⎰⎰+D d y x σ)ln(与⎰⎰+D
d y x σ3)(, 其中D ={(x , y )|3≤x ≤5. 0≤y ≤1}.
解 区域D 如图所示, 显然D 位于直线x +y =e 的上方, 故当(x , y )∈D 时, x +y ≥e , 从而
ln(x +y )≥1,
因而 [ln(x +y )]2≥ln(x +y ),
故 ⎰⎰⎰⎰+≤+D
D d y x d y x σσ2)][ln()ln(.
5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值:
(1)⎰⎰+=D
d y x xy I σ)(, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};
解 因为在区域D 上0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 所以
0≤xy ≤1, 0≤x +y ≤2,
进一步可得
0≤xy (x +y )≤2,
于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤D D
D d d y x xy d σσσ2)(0,
即 ⎰⎰≤+≤D
d y x xy 2)(0σ.
(2)⎰⎰=D
yd x I σ22sin sin , 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤π, 0≤y ≤π};
解 因为0≤sin 2x ≤1, 0≤sin 2y ≤1, 所以0≤sin 2x sin 2y ≤1. 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤D D
D d yd x d σσσ1sin sin 022,
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yd x 222sin sin 0πσ.
(3)⎰⎰++=D
d y x I σ)1(, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤2};
解 因为在区域D 上, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2, 所以1≤x +y +1≤4, 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++≤D D
D d d y x d σσσ4)1(,
即 ⎰⎰≤++≤D
d y x 8)1(2σ.
(4)⎰⎰++=D
d y x I σ)94(22, 其中D ={(x , y )| x 2+y 2 ≤4}.
解 在D 上, 因为0≤x 2+y 2≤4, 所以
9≤x 2+4y 2+9≤4(x 2+y 2)+9≤25.
于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++≤D D
D d d y x d σσσ25)94(922,
⎰⎰⋅⋅≤++≤D
d y x 2222225)94(29πσπ,
即 ⎰⎰≤++≤D
d y x πσπ100)94(3622.。