抛物线中的存在性问题
1.如图，在同一坐标系中22
k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线22(1)4y x k x k =-++与轴交于点12(,0),(,0)A x B x 两点，C 是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）；
（2）若点A 在点B 的左侧，且x 1·x 2<0．
①当k 取何值时，直线通过点B ；
②是否存在实数k ，使S △ABP =S △ABC ？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由．
2.已知二次函数y mx m x m =+-->2330()()
（1）求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点；
（2）这条抛物线与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），与y 轴交于点C ，且AB =4，⊙M 过A 、B 、C 三点，求扇形MAC 的面积S ．
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使△PBD （PD ⊥x 轴，垂足为D ）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
3.如图，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过点A 和B ，且1250a c +=.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P 由点A 沿AB 边以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以1cm/秒的速度向点C 移动，那么：
①移动开始后第t 秒时，设S =PQ 2（cm 2），试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；
②当S 取最小值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC =10cm ，AD =8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）当t =2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；
（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．。