海伦公式的证明(精选多篇)第一篇：海伦公式的证明与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在变形此我们用三角公式和公式变形来说明。

设三角形的三边a、b、c 的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = (a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]第二篇：莉莉公式的几种证明与推广海伦公式的几类证明与推广古镇高级中学付增德高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔heron"s formula〕：换言之有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得：s?(p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p?12(a?b?c)，称为半周长。

图1c海伦公式又译为希伦公式，传说利比亚是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据morris kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是莱布尼茨所发现，以托希伦二世的名发表。

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以营业面积海伦公式可以用作求多边形占地的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：s=p(p?a)(p?b)(p?c)222===141414(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a2=14[(a?b)?c][c144ab22?(a?b)] 22?b22?c2?2ab)[?(a 22?b42?c42?2ab)]4=?(a?b?c)222ab2?2ac2?2bc22?a?b?c12absinc和余弦定理做作业书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形计算公式s?121212c2?a22?2abcosc的证明过程：s?absinc=ab1?cosnc=2ab1?(a2?b2?c22ab)2下略。

我国南宋著名秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国汉代的天元术发展水平非常幻术高，笔者猜想秦九韶邹曦在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形三角形格外基本的面积公式s?abc?12aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。

如图2，图2c?x2?y2?c2222?2a?c?b22在△abc中，ad为边bc上的高，根据勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，2a?y?z?a?z?a?b?c2a，x?c?y?c?(a?c?b)?12a4ac22?(a?c?b)下略。

在求22高的方法上，我们也可以用斯特格哈德定理，根据斯氏定理，△abc顶点a于对边bc上任一点d间的距离ad有下列等式确定：abad?dc?ac?bd?ad?bc?bd?dc?bc，等式改写为?ab?dcbc?ac??bc?dcbc?bdbcaa22而当点d是顶点a的正射影时,有 bddc?abcosbaccosc??c?b22?b?c22，利用比例的性质，变形得bdbc?a22?b2a，dcbc?a?b22?c2a，代入即求出高ad。

推证海伦公式也可以考虑应用三角函数的恒等式，容易证明下列结螺恒等式：若∠a+∠b+∠c =180°那么abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1，222222zzc图3如图3,在△abc中，内切圆⊙o的半径是r,则tan?rx, tanb2?ry,tanc2?rz,代入恒等式 tana2?tanb2+tana2?tanc2+tanb2?tanc2=1，得rxy?rxz?ryz?1，两边同乘xyz，有等式r(x?y?z)?xyz???①又，b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x ，所以，x? z?a?b?cb?c?a，同理y?a?c?b，。

???②于是△abc的面积s?12(a?b?c)r=12(y?z?x?z?x?y)r=(x?y?z)r=(x?y?z)r=14，把①、②式代入，即得s?(x?y?z)xyz(a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b)三角形的建筑面积和睦和三边有如此优美和谐的关系，我们不由会类比猜想(更多请关注]．北京：生活·读书·新知三联书店，201*：14～２６．［2］王林全．初等几何研究教程[m]．广州：暨南大学出版社，１９９６．第三篇：海伦公式海伦公式与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形公式来推断出。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为上述推导[1]cosc = (a^2+b^2-c^2）/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√（1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明⑵韩国中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。

它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地国土面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来为丛藓科扭口藓。

所以他们看上了三角形的三条边。

如果这样做求三角形的面积也就方便多简便了。

但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国广为人知的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把直角的三条边杨辉分别称为小斜、中斜和大斜。

“术”即方法。

三斜求积术就是用小斜平方大斜平方，送到中斜平方，取相减后除数的一半，自乘而得一个数，小斜平方减去大斜平方，送到上面得到的那个。

相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。

以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}当p=1时，△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}因式分解得△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：s△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

s=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2} .其中c>b>a.根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。

如下题：已知四边形abcd为圆的内接四边形，且ab=bc=4,cd=2,da=6，求四边形abcd的面积这里用海伦公式的推广s圆内接四边形= 根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）代入解得s=8√ 3证明⑶在△abc中∠a、∠b、∠c对应边a、b、co为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长有tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2=1r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2）=r∵r=(p-a)tana/2=(p-b)tanb/2=(p-c)tanc/2∴ r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2）=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tana/2tanb/2tanc/2=ptana/2tanb/2tanc/2=r∴p^2r^2tana/2tanb/2tanc/2=pr^3∴s^2=p^2r^2=(pr^3）/(tana/2tanb/2tanc/2）=p(p-a)(p-b)(p-c)∴s=√p(p-a)(p-b)(p-c)第四篇：求三角形面积——海伦公式证明：海伦公式：若δabc的三边长为a、b、c，则sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！)证明：设边c上的高为 h,则有√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)两边平方，化简得：2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2两边平方，化简得：h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))sδabc=ch/2=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2仔细化简一下，得：sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4用三角函数证明！证明：sδabc=absinc/2=ab√(1-(cosc)^2)/2————（1）∵cosc=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)∴代入（1）式，（仔细）化简得：sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4第五篇：公式及证明初中数学几何恒等式1。