排列组合常见题型及解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。

一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

二．处理排列组合应用题的规律（1） 两种思路：直接法，间接法。

(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。

1 重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。

把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。

例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）[解析] 冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军。

把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可住进任意一家“店”，每个客有8种可能，因此共有38种不同的结果。

[评述]类似问题较多。

如：将8封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时8封信是“客”，3个邮筒是“店”，故共有83种结果。

要注意这两个问题的区别。

2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。

对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法有：＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有种，故站法共有：（种）例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。

[解析]3名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有33A 种可能；然后从其余7名队员选2名安排在第二、四位置，有27A 种排法。

因此结果为2733A A =252种。

例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？[解析]按一定次序排列的一列数叫做数列。

由于7个位置不同，故只要优先选两个位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”）。

因此，一共可以组成2227C C =21个不同的数列。

3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有种，所以排法共有：（种）。

例2（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。

[解析]将数学书与外文书分别捆在一起与其它3本书一起排，有55A 种排法，再将3本数学书之间交换有33A 种，2本外文书之间交换有22A 种，故共有223355A A A =1440种排法。

[评述]这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”解决。

如：7个人排成一排，其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种不同的排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元素”，但甲乙两人位置可对调，且中间一人可从其余5人中任取，有1200552215=A A C 种排法。

4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例5（2003年北京春季高考题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。

如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 （ ）A 6B 12C 15D 30[解析]原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位。

将两个新节目不相邻插入，相当于从6个位置中选2个让它们按顺序排列，故有3026=A 种排法，选（D ）。

[评述]本题中的原有5个节目不需要再排列，这一点要注意。

请练习以下这道题：马路上有编号为1、2、3、·10的十盏路灯，为节约用电又能照明，现准备把其中的三盏灯，但不能关掉相邻的两盏或三盏，两端的灯也不许关掉，求不同的关灯方式有多少种？可得结果为36C =20种。

你能很快求解吗？例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有种，所以排法共有：（种）5. 定序(顺序一定)问题用除法:对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。

例1、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。

解：5面旗全排列有55A种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有55323210A A A = 说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷例2. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：（个）6. 多排问题用直排法:对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。

例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。

7. 至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，可以采用转化思想从问题的反面入手考虑，然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。

在应用此法时要注意做到不重不漏。

例1. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。

第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：（种）。

8.先选后排“综合法”:“先选后排”是解排列组合问题的一个重要原则。

一般地，在排列组合综合问题中，我们总是先从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上。

例. 对某产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止。

若所有次品恰好在第5次时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？[解析]第5次必测出一个次品，其余3个次品在前4次中被测出。

从4个中确定最后一个次品有14C 种可能；前4次中应有1个正品3个次品，有3316C C 种；前4次测试中的顺序有44A 种。

分步计数原理得576)(44331614=⋅A C C C 种。

9.递推法例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上n 级楼梯的走法为a n 种，易知a 1=1,a 2=2,当n ≥2时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有a n-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有a n-2种走法，由加法原理知：a n =a n-1+ a n-2,据此，a 3=a 1+a 2=3,a 4=a #+a 2=5,a 5=a 4+a 3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34,a 9=55,a 10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。

10．用转换法解排列组合问题例．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种． 解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25A =20种例2：个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．解: 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．59C =126种 例3. 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法． 解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。

10991C例4 某城街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少． 解: 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．37C =35（种） 例5 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．612C =924（种）．例6求（a+b+c ）10的展开式的项数．解 展开使的项为a αb βc γ,且α+β+γ=10，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．212C =66例7 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为a 1,a 2，…,a 5,欧洲队队员为b 1，b 2，…，b 5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610C =252（种）11．错位排列问题:错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli ）提出，其通常提法是：n 个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题。