金融数学
柳红星 江西师大科技学院学院
课程定位
金融数学、数理金融、分析金融、财务数学等
金融原理的数学方面 规范金融数学 实证金融数学
金融工程
金融原理的使用方面 金融应用：如何降低风险、增加收益进行最优配臵
保险精算——金融数学
面向精算师考试所涉及的金融数学内容
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第一次华尔街革命（续）
考虑这样的问题假如某投资者同时对多种股 票进行投资, 那么为减少风险, 怎样的投资组合将是 最好的，即“买什么”和“买多少” 。为此,他们 引入了定量的方法, 把投资组合中的股票价格视为 随机变量, 以它的均值来衡量收益, 以它的方差来衡 量风险,利用相关系数表示证券之间的关联情况。 方差反映了收益的不确定性, 方差越大, 表示实际收 益与期望收益的差异越大。求收益一定而风险最小, 或者, 风险一定而收益最大的投资组合问题,就归结 为一个线性约束下的二次规划问题。
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发展初期
马科维茨(H．Markowitz)1952年发表的那篇仅有 14页的论文既是现代资产组合理论的发端，同时也标志 着现代金融理论的诞生。稍后，莫迪利亚尼和米勒 (Modigliani and Miller，1958)第一次应用无套利原理 证明了以他们名字命名的M-M定理。直到今天，这也 许仍然是公司金融理论中最重要的定理。同时，德布鲁 (Debreu，1959)和阿罗(Arrow，1964)将一般均衡模型 推广至不确定性经济中，为日后金融理论的发展提供了 灵活而统一的分析框架。
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第二次华尔街革命（续）
以期权为例，期权是一种权利但不是责任。期权的持有 者具有在某一特定时间或时间段内按某一预先确定的价格购 买或出售某项资产如股票、商品、外汇、金融指数等的权利。 持有这样的一份合约等于是获得了一个现在还无法确定的收 益。比如, 对一份标准的欧式看涨期权只在到期时刻才能执 行, 如果到执行时刻时标的资产的价格高于执行价格, 那么该 期权的收益就是差价，否则, 收益为零。那么, 期权买方该向 卖方支付多少“ 期权费” 以获得这种权利这就是期权定价” 问题。为了获得准确的期权定价公式, 金融学家和数学家竟
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金融学
经典金融学的核心问题是金融资产的定价。
这种定价不是通过考虑经济活动者的行为以及各种 经济条件来进行的，而更多的是通过一部分金融资 产的价格来为另一部分的金融资产定价。其依据是 这些金融资产未来不确定性之间的依赖关系。 金融学数学化成功的基本原因：
金融资产组合的价值=金融资产价值的组合
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发展初期
这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发
展：其一是，在马科维茨组合理论的基础上，夏普(Sharpe， 1964)、林特纳(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示， 在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组 合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的 推广。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)显示了阿罗-德布 鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡 体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利
是指资金，“融”是指融通，“金融”则指资金的
融通，或者说资本的借贷，即由资金融通的工具、 机构、市场和制度构成的有机系统，是经济系统的 重要组成部分。 金融学的核心：在不确定的环境下，通过资本市
场，对资源进行跨期（最优）配臵。
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金
融
学
理 论 层 次
宏观金融学
金融数学 金融计量经济学
微观金融学
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1990 年诺贝尔经济奖获得者
Merton Miller, (1923-2000) Modigliani-Miller 定理 (MMT)
Harry Markowitz, (1927-) 《证券组合 选择理论》
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William Sharpe, (1934-)资本资产 定价模型（CAPM)
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一、金融与金融数学（金融）
宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运
行规律，重点讨论货币供求均衡、金融经济关系、
通货膨胀与通货紧缩、金融危机、金融体系与金
融制度、货币政策与金融宏观调控、国际金融体
系等问题。 与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观 部分再有微观部分。
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一、金融与金融数学（金融）
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导论
一、金融学与金融数学
二、金融数学的发展历程 三、金融数学的结构框架
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导 论
在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现， 金融（finance）就产生了。时至今日，金融学已形 成了宏观金融学和微观金融学两个分支，其需要解 决的核心问题是：如何在不确定（uncertainty）的环 境下，通过资本市场对资源进行跨期的 （intertemporally）最优配臵（allocation）。金融 发展史表明，伴随着金融学两个分支学科的深化与 发展，金融数学（Financial Mathematics）应运而生。
金融数学基础理论
（1）Markowitz的证券组合选择理论；
（2）资本资产的定价理论（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）； （3）套利定价理论（APT，Arbitrage Pricing Theory）； （4） Black-Scholes 期权定价公式。
金融数学
规范金融数学： 强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方 程等知识对金融原理进行推导。 如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定 价模型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。 实证金融数学： 强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析 等知识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验 结论。 如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。
然花了半个多世纪的时间。
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被萨缪尔森誉为金融理论“专家中的专家”、
站在众多“巨人肩上的巨人”的莫顿(Robert
C ．Merton)曾这样说过：
优美的科学不一定是实用的，实用的科学 也未必给人以美感，而现代金融理论却兼备了 优美和实用。
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一、金融与金融数学（金融）
金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”
金融数学所涉及数学知识
分析方面：微积分——数学分析——实分析 代数方面：线性代数——高等代数——泛函分 析 概率方面：初等概率论——随机过程 数理统计方面：数理统计——现代统计理论方 法、时间序列分析等 高等概率论：离散时期金融数学 随机分析：连续时期金融数序
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一些好的教材和参考书
课程目的
（1）了解数学与金融学交叉而成的新兴科学的基本情况；
（2）通过一个侧面，了解数学在当今时代的重要作用； （3）通过课程的介绍，希望同学们结合自己的兴趣对今 后的大学生涯有一个很好的认识和规划； （4）通过课程的学习，期望能对同学们今后的生活方式
和理财方式，进而是消费方式的科学合理安排产生
一定的积极影响。
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金融数学
金融数学是一门新兴的边缘科学, 是数 学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命 （1952，Markowitz证券组合选择理论和 1973，Black-Scholes期权定价理论）的基础 上产生和发展起来的, 其核心问题是不确定 环境下的最优投资策略的选择理论和资产的 定价理论。
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介绍金融数学所涉及到的一些基本概念
未定权益空间、策略空间等； 完全市场、不完全市场等； 风险对冲、收益率等； 一价定律、无套利机会、随机折现因子等； ……
介绍一些基本模型
资产定价模型 资本资产定价模型； Markowitz证券组合选择模型等； ……
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第二次华尔街革命——期权定价理论
从70年代以来, 随着布雷顿森林协议的垮 塌, 浮动汇率取代了固定汇率。金融市场上开始 了一系列金融创新, 产生了许多金融衍生工具。 最基本的有期权、期货、远期等。金融衍生工 具引入市场的主要作用是风险管理。当然会不 可避免地被某些市场参与者用于金融投机。要 对风险进行有效的管理, 就必须为金融工具提供 精确的定价方法。
《金融学中的数学》 史树中
《金融经济学十讲》 史树中
《数理金融学》
《数理金融初步》
林清泉
Sheldon M.Ross Marek and Tomasz
《金融数学——金融工程引论》
《金融市场中的统计模型和方法》 黎子良 定位：强调数学公理化方法在金融中的应用。
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主要内容
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一、金融与金融数学（金融数学）
金融数学研究的主要内容：
风险管理
效用优化
金融数学的主要工具：
随机分析 数理统计
特别是非线性时间序列分析。
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一、金融与金融数学（金融数学）
依据研究方法：
金融数学

规范金融数学
实证金融数学
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一、金融与金融数学（金融数学）
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一、金融与金融数学（金融数学）
金融数学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的 分支，是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科， 是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由 规范研究向实证研究为主转变，由理论阐述向理论研究 与实用研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结 果。
数学：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。 金融学：研究运作“金钱”事务的科学。 金融数学：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。 与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在 。