微积分中函数的 单调性与凹凸性之间 相互约束关系浅析
091082班 班 张骥
关于单调性与凹凸性 对于函数 f（x） 一阶导数F`(x)=0 斜率为0
二阶导数F``(x)=0 斜率0 f ``(x)＞0 f ``(x)＜0
f(x) ↑ f(x) ↓ f`(x)↑ f`(x)↓
这个猜想揭示了函数一阶导数与二阶导数之间的 连续变化中，相互制约的关系。 即当我们知道了函数通过一个驻点，则可以由其 中一个性质推导出另一个性质，因为他们之间必 定相互制约。
推导证明
单调性（增或减）与凹凸性（凹或凸）相互组 合会出现四种情况：凹增 凹减 凸增 凸减
下面就以函数通过驻点后，由凹减推出的结论， 由猜想可知，函数通过驻点后，单调性与凹凸 性有且仅有一个发生变化，那么函数只能是凹 增和凸减两种情况。
增 减 凹 凸
启发（书本一道作业） f（x）= y =x3次方——x2次方——x+1
f `(x)=0 f ``（x）=0 求出三个驻点可 以画出图像。
分析 凸增——凸减
凸减——凹减
凹减——凹增
猜想
对于连续可导函数， 对于连续可导函数，函数每通过 一个驻点， 一个驻点，其图像的单调性和凹 凸性有且仅有一个发生变化。 凸性有且仅有一个发生变化。
谢谢各位老师同学指教！
意义及预期 这个命题是来自教科书中的，并不是当前那些热门的数 这个命题是来自教科书中的， 学问题。但是这却是微积分中最基础的部分引导出来的， 学问题。但是这却是微积分中最基础的部分引导出来的， 所以，它的意义在于， 所以，它的意义在于，把目前认为是相互独立的函数单 调性和凹凸性这两个最重要反映函数变化的性质联系起 并且形成相互制约关系， 来，并且形成相互制约关系，从根本上揭示函数变化的 原因。 原因。 最终得到一条或一系列的命题， 最终得到一条或一系列的命题，通过讲述函数的单调性 与凹凸性之间相互约束关系，并且尽量找到推广的结果， 与凹凸性之间相互约束关系，并且尽量找到推广的结果， 从根本上揭示函数变化的原因，达到一个普遍性的高度。 从根本上揭示函数变化的原因，达到一个普遍性的高度。
在驻点左边，函数是凹减的， 一阶导数F`(x)=0 即f ``（x）＞0 f `(x)＜0
斜率为0
二阶导数F``(x)=0 斜率变化为0
f `(x)＞0 f `(x)＜0 f ``(x)＞0 f ``(x)＜0
f (x) ↑ f (x) ↓ f `(x)↑ f `(x)↓
增 减 凹 凸
推广
1.条件推广 寻找适用于更广泛条件的相同结论，即试寻 找不满足连续可导的函数是否也有单调性与凹凸性相互 制约的关系。 2.结论推广 单调性反映一阶导数，凹凸性反映二阶导数， 由猜想可知，一阶导数与二阶导数之间有这种约束关系， 那么二阶与三阶之间呢，三阶与四阶呢？是不是相邻连 续导数之间都有这种关系。 3.应用推广 对于其它学科，例如物理学中，求导的 地方很多，那里符合相同的结论吗？