等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
解析：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －14＝1a ＋9, 1a ＝－23, ∴ n S ＝－23n ＋2)1(3-n n ＝23[(n －496)2－24936],∴ 当n=496最小时，n S 最小，但由于n N *∈，496介于8与9之间， 8100S =-，999S =- 即有且89S S >，故当n ＝8 8S ＝－100最小.点评：通过条件求出1a ，从而将n S 转化为关于n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处496介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。
3. 已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（B ）A 、7B 、78或C 、8D 、9 4.已知a n 是等差数列，其中a 1=31，公差d=﹣8，则数列a n 前n 项和的最大值为 76 ．分析：（1）根据数列的首项和公差写出数列的前n 项和，它是关于n 的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量n 的取值．解答：解：（1）∵a n 是等差数列，其中a 1=31，公差d=﹣8，∴数列a n 前n 项和s n =﹣4n 2+35n ，根据二次函数的性质，当n=时，前n 项和s n 取到最大值，∵n ∈N ，∴n=4，∴前n 项和s n 的最大值是s n =﹣64+140=76， 5.已知一个等差数列的前10项的和是110，前20项的和是20.求此等差数列的前n 项和n S ，并求出当n 为何值时，n S 最大，最大值是多少n S =n n 212+- 当N=10或11时，取最大值为1106.已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是设{a n }的公差为d ，由题意得a 1+a 3+a 5=a 1+a 1+2d+a 1+4d=105，即a 1+2d=35，①a 2+a 4+a 6=a 1+d+a 1+3d+a 1+5d=99，即a 1+3d=33，②由①②联立得a 1=39，d=-2，∴s n =39n+ ×（-2）=-n 2+40n=-（n-20）2+400，故当n=20时，S n 达到最大值400．7. 已知等差数列a n 的公差d ＜0，若a 3a 7=9，a 1+a 9=10，则该数列的前n 项和S n 的最大值为 49 ．分析：根据等差数列的性质得到第3项与第7项的和等于首项与第9项的和等于10，又第3项与第7项的积为9，写出一个两根为a 3和a 7关于x 的一元二次方程，求出方程的解，且根据等差d 小于0可得到a 3和a 7的值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的前n 项和公式，配方后即可求出数列的前n 项和S n 的最大值．解答：解：由题意a 1+a 9=10，得到a 3+a 7=10，又a 3a 7=9，得到a 3，a 7为方程x 2﹣10x+9=0的两根，且d ＜0，得到a 3=9，a 7=1，则d=﹣2，所以a 1=13，S n =﹣n 2+14n ﹣49+49=（n ﹣7）2+49，则当n=7时，该数列的前n 项和S n 的最大值为49．故答案为：498. 在等差数列a n 中，a 1=25，S 17=S 9，求S n 的最大值．解：由S 17=S 9，得到=，即17（2a 1+16d ）=9（2a 1+8d ），又a 1=25，得：d=﹣=﹣2，所以a n =a 1+（n ﹣1）d=﹣2n+27， 则S n ===﹣n 2+26n=﹣（n ﹣13）2+169，所以当n=13时，S nmax =169．三、在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当1a >0,d<0时，满足100m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得m S 取最大.(2)当1a <0,d>0时，满足10m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得取最小值。
例3：已知等差数列{a n }的a n ＝24－3n ，则前多少项和最大 由a n ＝24－3n 知当8≤n 时，0≥n a ，当9≥n 时，0<n a ，∴前8项或前7项的和取最大值. 9.已知等差数列{b n }的通项b n ＝2n-17,则前多少项和最小解：由bn ＝2n －17n 知当8≤n时，0<n a ，当9≥n 时，0>n a ， ∴前8项的和取最小值.点评：通过数列中数的特性，可由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n ，从解不等式来确定n S 的最大值。
小结：对等差数列前n 项和的求法，通常从二次函数与不等式的角度来求解，但有一点要注意的是最值的取值不一定在对称轴处，必须认真考察n 取何值才符合 10. 已知等差数列{a n },满足a n =40-4n ,求前多少项的和最大最大值是多少解法一:由219)219(2382440222+--=+-=⇒-=n n n S n a n n解法二:,440n a n -= 令10901≤≤⇒⎩⎨⎧≤+≥+n a a n n 180,10910===∴S S S n n n n 最大值：最大，或．11. 在等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是 5或6 ．分析：根据d ＜0，|a 3|=|a 9|，判断出a 3=﹣a 9，进而根据等差数列的通项公式求得a 1+5d=0，判断出a 6=0进而可知从数列的第7项开始为负，进而可判断出前n 项和S n 取得最大值的自然数n 的值．解答：解：∵d ＜0，|a 3|=|a 9|，∴a 3=﹣a 9，∴a 1+2d=﹣a 1﹣8d ，∴a 1+5d=0，∴a 6=0，∴a n ＞0（1≤n ≤5），12. ∴S n 取得最大值时的自然数n 是5或6．故答案为：5或6等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 12=a 102，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n= 5 ．分析：由a 12=a 102，得到a 1和a 10相等或互为相反数，因为公差d 小于0，所以得到a 1和a 10互为相反数即两项相加等于0，又根据等差数列的性质可知a 5和a 6的和等于a 1和a 10的和等于0，得到数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数为5．解答：解：由d ＜0，a 12=a 102，知a 1+a 10=0∴a 5+a 6=0，所以此数列从从第6项开始，以后每项都小于0，故S n 取得最大值时的项数n=5．故答案为：5． 点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，掌握两数平方相等时两数的关系，是一道中档题． 13. 已知等差数列{a n }，3 a 5 =8 a 12， a 1<0，设前n 项和为S n ,求S n 取最小值时n 的值．[分析]求等差数列前n 项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由AB A B n A S n 4)2(22-+=完成. 解法一:.576),11(8)4(3,83111125d a d a d a a a -=+=+∴=即 ,0,01>∴<d a 由 ,)2(22)1(121n d a n d d n n na S n -+=-+=∴点(n,S n )是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数x da x d y )2(212-+=的图象上,其对称轴,7.15257621=--=--=dd d d da x 距离x=最近的整数点(16,S 16), .16=∴n S n最小时 解法二: .576,831125d a a a -=∴= ,0,01>∴<d a 由,0222,02,4)2(122=⨯-+=+-+=d da n AB n A B A B n A S n 即令.16),(7.155762*最小时，n S n N n d dd n =∴∈=+=∴14. 已知等差数列{a n }，3 a 4 =7 a 7， a 1>0，设前n 项和为S n ,求S n 取最大值时n 的值．9 15. 已知等差数列{n a },*na N ∈,n S =212)8n a +（.若1302n n b a =-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值.分析：①由n S 与n a 的关系，可写出11n n s a ++与之间的关系，两式作差，即可得出1n a +与n a 间的关系； ②{n b }的前n 项和最小，估计{n b }的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小. 解 1n a +=1n s +-n S =2112)8n a ++（-212)8n a +（，即81n a +=（1n a ++22）-（n a +22），所以（1n a +-22）-（n a +22）=0， 即（1n a ++n a ）（1n a +-n a -4）=0，因为*n a N ∈，所以1n a ++n a ≠0，即1n a +-n a -4=0，所以1n a +-n a =4，因此等差数列{n a }的公差大于0.1a =1s =2112)8a +（,解得1a =2.所以n a =4n-2,则1302n n b a =-=2n-31.即数列{nb }也为等差数列且公差为 2.由23102(1)310{n n -≤+-≥，解得293122n ≤≤，因为n *N∈，所以n=15,故{n b }的前15项为负值，因此15s 最小，可知1b =-29，d=2,所以数列 {n b }的前n 项和的最小值为15s =1529215312-+⨯-（）=-225.16.{}n a 为等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，576S S S >>,则下列结论中不正确的是（A ）（A ） 0<d（B ）011>S （C ）012<S （D ）013<S17. 等差数列的前项和为，若，则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论是-------------- ( A) A ．②③ B ．①③ C ．①④ D ．②④ 18. 等差数列的前项和的最大值只有，且，则使的的最大值为 。