基本函数图像及性质
一、基本函数图像及其性质：
1、一次函数：(0)
y kx b k
=+≠
2、正比例函数：(0)
y kx k
=≠
3、反比例函数：(0)
k
y x
x
=≠
4、二次函数：2(0)
y ax bx c a
=++≠
（1）、作图五要素：
2
12
4
(,0),(,0),(0,),(),(,)()
224
b b a
c b
x x c x
a a a
-
=--
对称轴顶点（2）、函数与方程：2
=4=0
b ac
>
⎧
⎪
∆-⎨
⎪<
⎩
两个交点
一个交点
没有交点
（3）、根与系数关系：
12
b
x x
a
+=-，
12
c
x x
a
⋅=
5、指数函数：(0,1)x y a a a =>≠且 （1）、图像与性质：
（i ）1()(0,1)x x y a y a a a
==>≠与且关于y 轴对称。
（ii ）1a >时，a 越大，图像越陡。
(2)、应用：
（i ）比较大小： （ii ）解不等式： 1、回顾：
（1）()m
m
m
ab a b =⋅ （2）()m
m m a a b b
=
2、基本公式：
（1）m n m n
a a a
+⋅= （2）m m n n a a a
-= （3）()m n m n
a a ⨯=
3、特殊:
（1）01(0)a a =≠ （2）11
(0)a a a
-=
≠ （3
）1;0)n
a n a R n a =∈≥为奇数，为偶数，
（4
;0;0||
a n a
a a
a a n ≥⎧⎧==⎨⎨
-<⎩⎩为奇其中，为偶
例题1：（1）22232
[()()]3x x y xy y x x y x y ---÷；3223
5()()(5)x xy xy ÷
（2
）11203
2
170.027()(2)1)79----+-；20.520371037(2)0.1(2)392748
π--++-+
（3
例题2：（1）化简：2
12
2
12
)9124()144(+-+++a a a a
（2）方程016217162=+⨯-x x 的解是 。
（3）已知32
12
1=+-x x ，计算（1）1
--x x ；（2）3
7
122++-+--x x x x
例题3：（1）若48
12710,310==-
y
x
，则y x -210= 。
（2）设,0,,,≠∈xyz R z y x 且z y x 14464==，则（ ）
A.
y x z 111+= B.y x z 112+= C.y x z 121+= D.y
x z 211+=
（3）已知,123=+b a 则
a b a 3
39⨯= 。
6、对数函数：log(0,1)
a
y x a a
=>≠
且
(1)、图像与性质：
(2)、应用：
（i）比较大小：（ii）解不等式：
对数运算
1、与指数运算的关系：互为逆运算log(01)(0)
a
b a b
>≠>
且
5
57log7
x x
=→=（注：底数不变）
2、基本公式：
（1）log log log
a a a
M N M N
+=⋅；
（2）log log log
a a a
M
M N
N
-=；
（3）log log
n
a a
M n M
=
3、特殊：
（1）log10
a
=；
1
log1
a a
=-；log a b
a b
=
（2）换底公式：
log lg ln
log(10,)(,)
log lg ln
c
a
c
b b b
b c c e
a a a
=====
常用对数自然对数；
注：log log 1a b b a ⋅=；log log m n a a n
b b m
= 例题1：指数式与对数式的转化
→=62554 ；→=-1.0101 ；→=2x e ；
→=3log 2x ；→-=201.0lg ；→=2ln x ；
例题2：求下列x 的值：3
2log ln 100lg 642-
==-=x x
e x
例题3：用z y x a a a log ,log ,log 表示下列各式（1）;log z xy
a （2）;log 32z
y x a
例题4：（1）若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。
（2）已知2log 3=a ，那么6log 28log 33-用a 表示为 。
例题5：化简计算（1）3log 7
925
log 8log 93
(lg 2lg 2)2
⋅+-+；
（2）5
21log 2
3
322log (log 16)(5)++
（3）12
lg12
321162log lg 20lg 2(log 2)(log 3)1)49⎛⎫
++--⋅+ ⎪⎝⎭
★随堂训练：
1、已知0)](log [log log 237=x ，那么2
1-x 等于 。
2、方程12
log 1log )1(2=++x x 的解是=x 。
3、若53,32==b a ，试用a 与b 表示72log 45
4、2
1
6log log 3log 9362=⋅⋅m ，则实数m 的值为 。
5、若0>ab ，则下列正确的序号是 。
①b a ab lg lg )lg(+=；②
b a b
a
lg lg lg
-=；③b a b a lg )lg(212=；④10log 1)lg(ab ab =
6、若0>a 且0,0,1>>≠c b a ，则下列式子正确的个数为 。
①c b c b a a a log log log =；②)(log )(log c b c b a a +=⋅；③c b c b a a a log log )(log +=⋅；④c
b
c b a a a log log )(log =-；
⑤c b c b a a a log log )(log ⋅=+；⑥c b c
b
a a a
log log log -=
7、若y=log 56·log 67·log 78·log 89·log 910,则有 （ ） A. y ∈(0 , 1) B . y ∈(1 , 2 ) C. y ∈(2 , 3 ) D. y =1
8、计算：（1）(log )log log 2222
545415
-++
（2）100011
3
43460022
++-++-lg .lg lg lg lg .
7、正弦函数：sin y x = 8、余弦函数：cos y x = 9、正切函数：tan y x =
10、幂函数：a
=
y x
(1)、基本图像：
(2)、幂函数图像不过第四象限。
二、绝对值图像：
x：将0
x>部分沿y轴对折
x<，再将0
x>保留，擦去0
y：将0
y>保留，再将0
y<部分沿x轴对折
三、图像平移变换：
左加右减；上加下减。