（ （2020 年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 平面向量的基本定理例 1 给出下列命题：（1）向量 AB 与向量 BA 是共线向量，不是平行向量；（2）若向量 a 与向量 b 都是单位向量，则 a = b ；（3）若 AB = DC ，则 A, B, C , D 四点构成平行四边形；（4） l , m 为实数，若 l a = mb ，则 a 与 b 共线．其中错误的命题的序号是．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。

两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同； 3）是错误的，当 A 、B 、C 、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形； 4）是错误的，当 l =m =0时， a 与 b 可以共线可以不共线【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若 A B = DC ，则 A 、B 、C 、D四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。

l =m =0 ，若 l a = mb ，则 a 与 b 不一定共线。

【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．1（ （例 2 已知 a = (1,2) , b = (2 x, -3) 且 a ∥ b ,则 x =．【答案】 -34【解析】根据 a ∥ b 有 x y - x y = 0 ,可知1 ⨯ (-3) - 2 ⨯ 2 x = 0 ,得 x = -1 22 134【易错点】 1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了 x 1x 2 - y 1 y 2 = 0 ． 2）a || b ⇔ x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0 ，不是 x 1 x 2 - y 1 y 2 = 0 ，可以记为 “斜乘相减等于零 ”． a ^ b ?x 1x2y y =0 1 2，可以记为“竖乘相加等于 零”．这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢．【思维点拨】1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；（3）向量平行与起点的位置无关．题型二 平面向量的线性运算例 1 在 ABCD 中，错误的式子是（）A ． AD - AB = BDB ． AD - AB = DBC ． AB + BC = ACD ． AD + AB = AC【答案】D ．【解析】根据平行四边形法则知，错误的为 B ．在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如 AB + BC = AC ，在向量的减法运算中，两向量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如 AD - AB = BD ，对于 D 选项，利用平行四边形法则结合图像可得 AD + AB = AC ．【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。

【思维点拨】1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程（组）思想的应用．【解析】 a 在 e 上的投影为 a cos 〈a, e 〉 = a a ⋅ e （ （ 3．题型三 平面向量的数量积及其应用例 1 已知 a = 4, e 为单位向量，当 a, e 的夹角为2π3时， a 在 e 上的投影为（ ）A ． 2【答案】 B ．B ． - 2C ． 2 3D ． - 2 3a e =a ⋅ ee = 4⨯1⨯ cos 2π 3 = -2 ,所以选择 B ．【易错点】（1）对 a 在 b 上的投影的概念和公式理解不透彻． 2） a 在 b 上的投影为 | a |cos < a, b > ，由于| a |? 0, 1 ? cos a, b >? 1 ，所以a 在 b 上的投影可以是正数，也可以是负数，也可以是零．有的同学把 a在 b 上的投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数．【思维点拨】1．对两向量夹角的理解（1）两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．（2）两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为 0，共线且反向时，其夹角为 π．（3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．向量运算与数量运算的区别（1）若 a ，b ∈R ，且 a · b ＝0，则有 a ＝0 或 b ＝0，但 a·b ＝0 却不能得出 a ＝0 或 b ＝0．（2）若 a ，b ，c ∈R ，且 a ≠0，则由 ab ＝ac 可得 b ＝c ，但由 a·b ＝a·c 及 a ≠0 却不能推出 b ＝c ．（3）若 a ，b ，c ∈R ，则 a （bc ）＝（ab ）c （结合律）成立，但对于向量 a ，b ，c ，而（a·b ）· c 与 a ·（b·c ）一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．（4）若 a ，b ∈R ，则|a · b |＝|a |·|b |，但对于向量 a ，b ，却有|a·b |≤|a ||b |，等号当且仅当 a ∥b 时成立．例 2 已知向量 a, b 满足： a + 2b 与π【答案】3．5 4a -b 垂直，且 | a |= 1, | b |= 1 ，则 a 与b 的夹角为 ．【解析】由已知得（ a + 2b ）．5 4a -b ）=0，故 a ⋅ b = 1 a ⋅ b 1，则 cos < a ⋅ b >= ＝ ，又因为 < a ⋅ b >∈ [0, π ] ， 2 a ⋅ b 2故 a 与 b 的夹角为 π3【易错点】（1）经典错解错在对向量的夹角的范围没有记清．（2）两个向量的夹角q的范围是qÎ[0,p]，不是qÎ[0,2p]，所以本题只有一个答案．【思维点拨】1．求两非零向量的夹角时要注意：（1）向量的数量积不满足结合律；（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．【巩固训练】题型一平面向量的基本定理1．给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC．又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC且AB与DC方向相同，因此AB＝DC．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．2．设a为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与0a平行且|a|＝1，则a＝a0．上述命题中，假命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3解之得 t ＝ ．故存在实数 t ＝ 使 C ，D ，E 三点在一条直线上．⎩【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a 0 平行，则 a 与 a 0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3．3．已知 a ，b 不共线， O A ＝a ， OB ＝b ， OC ＝c ， O D ＝d ， O B ＝e ，设 t ∈R ，如果 3a ＝c,2b ＝d ，e ＝ t （a ＋b ），是否存在实数 t 使 C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理 由．【答案】见解析【解析】解：由题设知， C D ＝d －c ＝2b －3a ， CE ＝e －c ＝（t －3）a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上 的充要条件是存在实数 k ，使得 C E ＝k CD ，即（t －3）a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得（t －3＋3k ）a ＝（2k －t ）b ．⎧⎪t －3＋3k ＝0， 因为 a ，b 不共线，所以有⎨⎪t －2k ＝0，65654．下列说法正确的是A ．向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则点 A, B, C, D 必在同一条直线上B ．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】D【解析】对于 A ，若向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则 AB ∥CD 或点 A ,B ,C ,D 在同一条直线上，故 A错误；对于 B ，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故 B 错误；对于 C ，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故 C 错误；对于 D ，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故 D 正确.故选 D ．5．已知 e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则 a 与 b 共线的条件是（ ）A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2 或 λ＝05【解析】∵AB·BC＝1，且AB＝2，∴1＝|AB||BC|cos（π－B），∴|BC|cos B＝－△．在ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即9＝4＋BC2－2×2×⎝－2⎭．∴BC＝3．【解析】选D。