专题19 三角恒等变换【高考地位】三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.方法一 运用转化与化归思想例1 已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 233x cos x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________． 【答案】49【解析】第一步，利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式：ππππππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-3232,3235x x x x 第二步，运用有关公式进行变形，主要是角的拆变：5cos 22cos 23333sin x x sin x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2cos212sin 3333sin x x sin x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 第三步，得出结论: 5sin 233x cos x ππ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1241399=-+-=，故答案为49.【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑． 【变式演练1】【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第五次模拟】已知,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且cos2sin 0θθ+=，则sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．22- B ．4C ．4D ．24+ 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式求出sin θ，再根据同角三角函数的基本关系求出cos θ，最后利用两角和的正弦公式计算可得； 【详解】解：因为cos2sin 0θθ+=，所以212sin sin 0θθ-+=，解得sin 1θ=或1sin 2θ=-，因为,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以1sin 2θ=-，cos 2θ==所以1sin sin cos cos sin 4442πππθθθ⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题. 【变式演练2】【2020届吉林省高三第二次模拟】设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724- B ．524-C ．524D ．724【答案】D 【解析】【分析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-，()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈，4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.方法二 运用函数方程思想例2 已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin42cos3sin x x x -= ( ) A.79 B. 79- C. D.【答案】B【解析】第一步，将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程：由()sin4sin 3x sin3xcosx cos3xsinx x x =+=+可得：sin42cos3sin sin3xcosx cos3xsinx x x x -=-142sin 2422cos 2sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==ππx第二步，得出结论： 所以原式97-=，故选：B 【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可 以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.【变式演练3】【陕西省西安市八校2020届高三联考】已知sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+4π）＝（ ）A ．10B ．﹣10C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理可得sin cos 5αα+=，2sin cos 5αα⋅=-，结合(0,)απ∈，可得cos sin 0αα-<，根据两角和的余弦公式可得cos()(cos sin )42πααα+=-=此可得结果. 【详解】因为sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，所以sin cos αα+=2sin cos 5αα⋅=-，因为(0,)απ∈，且sin cos 0αα⋅<，所以sin 0α>且cos 0α<， 所以cos sin 0αα-<，所以cos()cos cossin sin444πππααα+=-(cos sin )2αα=-===2=-=. 故选：D.【点睛】本题考查了韦达定理，两角和的余弦公式，属于基础题.【变式演练4】【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测】已知tan θ是方程2610x x -+=的一根，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．34B ．12C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】将tan θ代入方程，利用同角三角函数的基本关系式进行化简，求得sin 2θ的值，利用降次公式、诱导公式求得所求表达式的值. 【详解】由题意，2tan 6tan 10θθ-+=，则22sin 6sin 10cos cos θθθθ-+=，得22sin 6sin cos cos 0θθθθ-+=，得1sin cos 6θθ=，所以1sin 22sin cos 3θθθ==，所以21cos 21sin 22cos =422πθπθθ⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭111323-==. 故选：C.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、降次公式、诱导公式，属于基础题.方法三 运用换元思想例3 若求的取值范围. 【答案】[22-. 【解析】第一步，运用换元法将未知向已知转化：令t =+βαcos cos ，则()()21cos cos sin sin 222+=+++t βαβα 第二步，利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换： 即()21cos 22+=-+t βα，所以()23cos 2-=-t βα 所以22322≤-≤-t ，即214214≤≤-t 第三步，得出结论： 所以214cos cos 214≤+≤-βα 【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围.【变式演练5】【江苏省2020届高三下学期6月高考押题】已知sin cos αα+=则24sin cos αα+的值为____________. 【答案】1825【解析】 【分析】先平方求出sin 2α，再利用二倍角公式求出4cos α，即可求解. 【详解】,22sin sin =+βαβαcos cos +βαcos cos +sin cos 5αα+=()24sin cos 1sin 25ααα∴+=+=即1sin 25α=- 2123412sin 2122525cos αα=-=-⨯=123182452525sin cos αα+=-+=故答案为：1825 【点睛】此题考查二倍角公式，关键熟记二倍角的各种变形，属于简单题目.【高考再现】1.【2020年高考全国Ⅲ卷理数9】已知2tan tan 74θθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan θ= （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】D【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案． 【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271t t t +-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=．故选D ．【专家解读】本题考查了三角函数知值求值问题的解法，考查两角和的正切公式，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数有关公式进行计算． 2.【2017全国III 文，4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ． 29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- .所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.3.【2018年全国I 卷】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ， a)，B(2 ， b)，且cos2α=23，则|a −b |= A ． 15 B ． √55 C ．2√55D ． 1【答案】B 【解析】 【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到b =2a ，利用cos2α=23，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得a 2=15，从而得到|a |=√55，再结合b =2a ，从而得到|a −b |=|a −2a |=√55，从而确定选项. 【详解】由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ， 因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23，解得a 2=15，即|a |=√55， 所以|a −b |=|a −2a |=√55，故选B.【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 4．【2018年全国卷Ⅲ】若sinα=13，则cos2α= A ． 89 B ． 79 C ． −79 D ． −89 【答案】B 【解析】分析：由公式cos2α=1−2sin 2α可得。