递推数列题型归纳解析-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII1递推数列题型归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
例:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
2变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .变式:（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________变式:（2006. 福建.理22）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：数列{b n }是等差数列；3变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。
解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 11+=+再待定系数法解决。
变式:（2006，全国I,理22）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
4解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+q st p t s例1.数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。
例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =)解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。
例：已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .变式:（06陕西,理,) 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n5类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .变式:（2006，山东,文,22）已知数列｛n a ｝中，11122n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…(Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=-(Ⅱ)求数列{}的通项；n a6数列求和的常用方法一、公式法①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用公式：)1(211+==∑=n n k S n k n ，)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ，213)]1(21[+==∑=n n k S n k n 二、．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.三、分组求和法：将数列分成可以求和的几组。
四．裂项相消法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. ①111(1)1n n n n =-++ ②1111(k)k kn n n n =-++（） ③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++；④n n n n a n -+=++=111 五．错位相减法：若}{n a 是等差数列，{n b }是等比数列，则数列{n n b a ⋅}的求和运用错位求和方法，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.六．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法.七、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
【课前热身】1、数列2， ,21,,814,413,2121-+n n 的前n 项之和为_________.2、设5033171,)1(4321S S S n S n n ++⋅-++-+-=-则 = 1 ；3、数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+n-12），…的前n 项和等于n+12-2-n74、 已知数列{n a }的通项公式是n n n a n 则前,6512++=项和为n 3n 3+（）例2、132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S (n 2n )N +≥∈且例3 、（1）求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n (2)求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. （3）求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.（4）求和：;1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n【课后作业】1、1)1(11411311212222-+++-+-+-n 的值为()()31142n 12n 2--++ 2、111112123123+n ++++++++++=2n n+13、已知等比数列{a n }前n 项和为S n 且S 5=2, S 10=6，则a 16+a 17+a 18+a 19+a 20等于164、在等比数列{a n }中，若有a 3=2S 2+1, a 4=2S 3+1，则该数列的公比q= 3 。
8 5、数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，则S 2002= 5 6、142536(3)n S n n =⨯+⨯+⨯++⨯+=()()n n+1n+53 7、等差数列{a n }中，已知公差d=5，前20项的和S 20=400，则22222224201319()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+= 20008、已知数列{a n }前n 项的和S n =3+n 2，则2222123n a a a a ++⋅⋅⋅+=n 4+713 9、给定1log (2)()n n a n n N ++=+∈，定义使123k a a a a ⋅⋅⋅为整数的k 叫做企盼数，则在区间（1，2008）内的所有企盼数的和为 202610、已知等比数列{ a n }n a 2b a 3n n S =⋅+=1的前项和，。
（1）求a ，b 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n =nn a ，求数列{b n }.n n T 前项和13、已知二次函数y=f （x ）的图像经过坐标原点，其导函数为f x x '（）=6-2，数列{a n }n n S 的前项和为，点（n ，S n ）n N*)∈（均在函数y=f （x ）的图像上。
(1）求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =n n+13a a ， n T 是数列{b n }n 前项和，求使得n T m <20对所有n N*∈都成立的最小正整数m 。